2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率

本题导读

考查独立事件概率。（1）$1-{\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{899}{900}$；（2）${\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\times {\mathrm{C}}_2^1\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{45}$。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 $2$ 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{4}{5}$，且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 $4$ 株大树中：

(1)至少有 $1$ 株成活的概率；

(2)两种大树各成活 $1$ 株的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）四株均未成活的概率为 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{900}$。 2. 至少一株成活：$1-\frac{1}{900}=\frac{899}{900}$。 3.（2）甲种恰好成活一株：${\mathrm{C}}_2^1\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{18}$。 4. 乙种恰好成活一株：${\mathrm{C}}_2^1\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{8}{25}$。 5. 由独立性，所求为 $\frac{5}{18}\times \frac{8}{25}=\frac{4}{45}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{899}{900}$；(2)$\frac{4}{45}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）四株大树均未成活的概率为 ${\left(1-\frac{5}{6}\right)}^2{\left(1-\frac{4}{5}\right)}^2={\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{900}.$ 所以至少有一株成活的概率为 $1-\frac{1}{900}=\frac{899}{900}.$ （2）甲种大树恰好成活一株的概率为 ${\mathrm{C}}_2^1\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{18},$ 乙种大树恰好成活一株的概率为 ${\mathrm{C}}_2^1\times \frac{4}{5}\times \frac{1}{5}=\frac{8}{25}.$ 由各株大树是否成活互不影响，两种大树各成活一株的概率为 $\frac{5}{18}\times \frac{8}{25}=\frac{4}{45}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件的概率

核心方法：“至少一个”用对立事件，“各成活一株”分种计算再相乘

避坑指南：甲种恰成活一株是 ${\mathrm{C}}_2^1\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{18}$（两株中选一），漏乘 ${\mathrm{C}}_2^1$ 是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件积的概率=概率的积，“互不影响”即独立。

结论推广：对立事件”全未成活”的概率为 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{900}$。

方法推广：$\frac{5}{18}\times \frac{8}{25}=\frac{4}{45}$，约分后再乘不易错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率