2010-江西卷理-01 单-复数

本题导读

考查复数的乘法运算及复数相等的定义，通过复数相等建立实数方程组求解。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 已知 $(x+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=y$，则实数 $x,y$ 分别为()

A. $x=-1,y=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $x=-1,y=2$

C. $x=1,y=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $x=1,y=2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将等式左边按复数乘法展开，整理为 $a+b\mathrm{i}$ 的形式。
2. 根据复数相等的条件（实部等于实部，虚部等于虚部），建立关于 $x,y$ 的方程组求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 将等式左边展开： $(x+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=x-x\mathrm{i}+\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=(x+1)+(1-x)\mathrm{i}$

因为 $y$ 为实数，即 $y=y+0\mathrm{i}$，所以由复数相等可得： $\{\begin{array}{l}x+1=y\\ 1-x=0\end{array}$

解得： $x=1,y=2$

正确选项：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数相等的定义，即 $a+b\mathrm{i}=c+d\mathrm{i}⟺a=c\text{ 且 }b=d$（$a,b,c,d\in \mathbf{R}$）。
2. 核心方法：展开化简法与实虚部分离法。
3. 避坑指南：计算展开时注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于必修课程中复数基本运算与相等的定义。
2. 结论推广：若 $(x+a\mathrm{i})(b+c\mathrm{i})=d\in \mathbf{R}$，则其虚部满足 $cx+ab=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算