2010-江西卷理-05 单-等比数列

本题导读

考查高次多项式在 $x = 0$ 处的导数值计算，以及等比数列性质的应用。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)）等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{8} = 4$ ，函数 $f (x) = x (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{8})$ ，则 $f^{'} (0) =$ ()

A. $2^{6}$ 　　　　　　B. $2^{9}$ 　　　　　　C. $2^{12}$ 　　　　　　D. $2^{15}$

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对 $f (x) = x \cdot g (x)$ （其中 $g (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{8})$ ）求导，得 $f^{'} (x) = g (x) + x g^{'} (x)$ 。

代入 $x = 0$ 得 $f^{'} (0) = g (0) = (- 1)^{8} a_{1} a_{2} \dots a_{8} = a_{1} a_{2} \dots a_{8}$ 。

利用等比数列性质 $a_{1} a_{8} = a_{2} a_{7} = a_{3} a_{6} = a_{4} a_{5}$ 计算乘积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $g (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{8})$ ，则 $f (x) = x \cdot g (x)$ 。求导得： $f^{'} (x) = g (x) + x \cdot g^{'} (x)$

令 $x = 0$ 代入得： $f^{'} (0) = g (0) + 0 \cdot g^{'} (0) = g (0) = (- a_{1}) (- a_{2}) \dots (- a_{8}) = (- 1)^{8} (a_{1} a_{2} \dots a_{8}) = a_{1} a_{2} \dots a_{8}$

由等比数列性质可知： $a_{1} a_{8} = a_{2} a_{7} = a_{3} a_{6} = a_{4} a_{5} = 2 \times 4 = 8 = 2^{3}$

因此： $a_{1} a_{2} \dots a_{8} = (a_{1} a_{8})^{4} = (2^{3})^{4} = 2^{12}$

故 $f^{'} (0) = 2^{12}$ 。

正确选项：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数代数定义 $f^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{x}$ ，等比数列性质 $\prod_{i = 1}^{2 k} a_{i} = (a_{1} a_{2 k})^{k}$ 。

核心方法：乘积求导法，或利用定义法 $f^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{xg ( x )}{x} = g (0)$ 。

避坑指南：不要硬展开求导，利用 $f^{'} (0) = g (0)$ 可以避开复杂的求导过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数定义与多项式零点的巧妙结合。

结论推广：若 $f (x) = x \prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})$ ，则 $f^{'} (0) = (- 1)^{n} \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$ 。

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