2010-江西卷理-08 单-直线与圆的位

本题导读

考查直线与圆相交弦长的几何求法及点到直线距离公式的应用。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 直线 $y=kx+3$ 与圆 $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|\ge 2\sqrt{3}$，则 $k$ 的取值范围是()

A. $\left[-\frac{3}{4},0\right]$　B. $\left(-\infty ,-\frac{3}{4}\right]\cup [0,+\infty )$　C. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$　D. $\left[-\frac{2}{3},0\right]$

🔍【思路分析】

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1. 确定圆心坐标为 $C(3,2)$，半径 $R=2$。
2. 利用圆的弦长公式 $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}$，得到圆心到直线的距离 $d$ 的取值范围。
3. 利用点到直线的距离公式列出关于 $k$ 的不等式并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 圆 $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 的圆心为 $C(3,2)$，半径 $R=2$。

设圆心 $C$ 到直线 $kx-y+3=0$ 的距离为 $d$。 由弦长公式得： $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-d^2}$

因为 $|MN|\ge 2\sqrt{3}$，所以： $2\sqrt{4-d^2}\ge 2\sqrt{3}⟹4-d^2\ge 3⟹d^2\le 1⟹d\le 1$

由点到直线距离公式得： $d=\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|3k+1|}{\sqrt{k^2+1}}\le 1$

平方得： $(3k+1{)}^2\le k^2+1⟹9k^2+6k+1\le k^2+1$ $8k^2+6k\le 0⟹2k(4k+3)\le 0$

解得： $-\frac{3}{4}\le k\le 0$

正确选项：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的半弦长、弦心距 $d$ 与半径 $R$ 的勾股关系 $d^2+{\left(\frac{|MN|}{2}\right)}^2=R^2$。
2. 核心方法：几何法（优先于联立方程判别式法）。
3. 避坑指南：直线方程需先化为一般式 $kx-y+3=0$ 再套用点到直线的距离公式；解二次不等式时注意符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于解析几何中圆的弦长几何解法的标准必考题。
2. 结论推广：直线与圆相交，弦长 $|L|\ge L_0⟺d\le \sqrt{R^2-{\left(\frac{L_0}{2}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-04 单-直线与平面位置关系
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-湖南卷理-21 解-直线与圆