2010-江西卷理-18 解-分布列

本题导读

考查无放回随机选择问题中离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，需要枚举所有可能的走出迷宫路径并计算对应的时间与概率。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是 $1$ 号通道，则需要 $1$ 小时走出迷宫；若是 $2$ 号、$3$ 号通道，则分别需要 $2$ 小时、$3$ 小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令 $\xi$ 表示走出迷宫所需的时间.

(1) 求 $\xi$ 的分布列；

(2) 求 $\xi$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 分析通道特征：

• $1$ 号通道：花费 $1$ 小时，走出迷宫（终止条件）。
• $2$ 号通道：花费 $2$ 小时，返回智能门。
• $3$ 号通道：花费 $3$ 小时，返回智能门。

2. 枚举到达与走出迷宫的所有路径组合：

• 走 $1$ 条通道走出：路径为 $(1)$，耗时 $t=1$ 小时。
• 走 $2$ 条通道走出：路径为 $(2,1)$，耗时 $t=2+1=3$ 小时；路径为 $(3,1)$，耗时 $t=3+1=4$ 小时。
• 走 $3$ 条通道走出：路径为 $(2,3,1)$，耗时 $t=2+3+1=6$ 小时；路径为 $(3,2,1)$，耗时 $t=3+2+1=6$ 小时。

3. 分别计算各路径概率及对应 $\xi$ 取值，列出分布列并求期望 $E(\xi )=\sum x_{i}P(\xi =x_i)$。

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离散型随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 $1,3,4,6$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 设经过各通道的序号序列表示走出迷宫的路径。

由题意可知，走出迷宫的所有可能路径及其对应的总时间 $\xi$ 和概率如下：

1. 路径为 $(1)$： 直接选择 $1$ 号通道，走出迷宫。 所需时间：$\xi =1$ 小时。 概率为：$P(\xi =1)=\frac{1}{3}$。

2. 路径为 $(2,1)$： 第一次选择 $2$ 号通道（返回），第二次选择 $1$ 号通道（走出）。 所需时间：$\xi =2+1=3$ 小时。 概率为：$P(\xi =3)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。

3. 路径为 $(3,1)$： 第一次选择 $3$ 号通道（返回），第二次选择 $1$ 号通道（走出）。 所需时间：$\xi =3+1=4$ 小时。 概率为：$P(\xi =4)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。

4. 路径为 $(2,3,1)$ 或 $(3,2,1)$：

• 路径 $(2,3,1)$：所需时间为 $2+3+1=6$ 小时，概率为 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$；
• 路径 $(3,2,1)$：所需时间为 $3+2+1=6$ 小时，概率为 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$。

因此，$\xi =6$ 小时的总概率为： $P(\xi =6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

综上所述，离散型随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 $1,3,4,6$。

$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$1$	$3$	$4$	$6$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

---

(2) 由 (1) 中求得的分布列，计算 $\xi$ 的数学期望： $E(\xi )=1\times \frac{1}{3}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{6}+6\times \frac{1}{3}$ $=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+2$ $=1+\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2}=3.5$

答：$\xi$ 的数学期望为 $\frac{7}{2}$（或 $3.5$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无放回事件的乘法公式，离散型随机变量分布列与期望计算。
2. 核心方法：穷举路径法（按走过的通道数分类枚举）。
3. 避坑指南：注意“未到过的通道”意味着第二次选择概率为 $\frac{1}{2}$（从剩余 $2$ 个通道选），第三次概率为 $1$（只剩 $1$ 个通道），计算乘积概率时切勿全部按 $\frac{1}{3}$ 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于概率论中著名的“迷宫老鼠/迷路逃生”概率模型。
2. 结论推广：若有 $n$ 个通道，其中 1 个出口（耗时 $t_0$），其余 $n-1$ 个通道耗时 $t_1,t_2,\dots ,t_{n-1}$ 均返回起点且不重复选择，则走出迷宫的平均时间为 $E=t_0+\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^{n-1}{t}_i$。在本题中 $E=1+\frac{1}{2}(2+3)=3.5$ 小时。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用