2010-江西卷理-22 解-等差数列

本题导读

本题为数论与平面几何跨学科结合的创新压轴题。重点考查利用参数代数式构造满足平方成等差数列的正整数解，并通过单调性证明存在无穷多个互不相似的三角形。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 证明以下命题：

(1)对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列；

(2)存在无穷多个互不相似的三角形 ${\Delta }_n$，其边长 $a_n,b_n,c_n$ 为正整数且 $a_n^2,b_n^2,c_n^2$ 成等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：寻找满足 $a^2+c^2=2b^2$ 的整数解构造。直接设 $b=5a,c=7a$，验证 $a^2+49a^2=50a^2=2(25a^2)=2b^2$ 成立。
2. 第（2）问：需构造参数数列 $(a_k,b_k,c_k)$ 同时满足：正整数、满足平方成等差、满足三角形两边之和大于第三边，且比值 $\frac{c_k}{b_k}$ 互不相同（确保互不相似）。

点击查看答案

存在无穷多个互不相似的三角形满足条件，命题（2）得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

（1）对给定的任一正整数 $a$，取 $b=5a,c=7a$。 因为 $a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，所以 $b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且明显满足 $b<c$。

计算可得： $a^2+c^2=a^2+(7a{)}^2=a^2+49a^2=50a^2$ $2b^2=2\cdot (5a{)}^2=2\cdot 25a^2=50a^2$

因此 $a^2+c^2=2b^2$，即 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列。 命题（1）得证。

---

（2）构造参数序列：对任意正整数 $k\ge 4$，令 $\{\begin{array}{l}{a}_k=k^2-2k-1\\ b_k=k^2+1\\ c_k=k^2+2k-1\end{array}$

① 检验正整数性： 当 $k\ge 4$ 时， $a_k=k^2-2k-1=(k-1{)}^2-2\ge 7>0$； $b_k=k^2+1>0$； $c_k=k^2+2k-1>0$。 故 $a_k,b_k,c_k$ 均为正整数，且 $a_k<b_k<c_k$。

② 检验平方成等差数列： $a_k^2+c_k^2=(k^2-2k-1{)}^2+(k^2+2k-1{)}^2$ 利用恒等式 $(x-y{)}^2+(x+y{)}^2=2x^2+2y^2$，设 $x=k^2-1,y=2k$： $a_k^2+c_k^2=2(k^2-1{)}^2+2(2k{)}^2=2(k^4-2k^2+1+4k^2)=2(k^4+2k^2+1)=2(k^2+1{)}^2=2b_k^2$ 故 $a_k^2,b_k^2,c_k^2$ 成等差数列。

③ 检验构成三角形（三角形三边不等式）： 只需验证较小两边之和大于最大边，即 $a_k+b_k>c_k$： $(a_k+b_k)-c_k=(k^2-2k-1+k^2+1)-(k^2+2k-1)=k^2-4k+1=(k-2{)}^2-3$ 当 $k\ge 4$ 时，$(k-2{)}^2-3\ge 2^2-3=1>0$， 即 $a_k+b_k>c_k$ 恒成立，故 $a_k,b_k,c_k$ 能构成三角形 ${\Delta }_k$。

④ 检验互不相似性： 考虑三角形最大边与中间边的比值： $\frac{c_k}{b_k}=\frac{k^2+2k-1}{k^2+1}=1+\frac{2k-2}{k^2+1}$ 设 $f(x)=\frac{2x-2}{x^2+1}(x\ge 4)$，求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+1)-(2x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-2x^2+4x+2}{(x^2+1{)}^2}$ 当 $x\ge 4$ 时，$-2x^2+4x+2=-2(x-1{)}^2+4\le -14<0$， 故 $f(x)$ 在 $[4,+\infty )$ 上严格单调递减。

因此，对不同的整数 $k\ge 4$，比值 $\frac{c_k}{b_k}$ 两两不相等，故构造出的三角形序列 ${\Delta }_k$ 两两互不相似。

综上，存在无穷多个互不相似的三角形满足条件，命题（2）得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数恒等式构造、等差数列定义、三角形三边关系、函数单调性判定两两不等。
2. 核心方法：构造法（参数表示法），通过把二元二次方程 $x^2+y^2=2z^2$ 参数化，得到恒成立的整式解。
3. 避坑指南：第（2）问仅证明有无穷多个三角形不够，必须证明这些三角形“两两互不相似”（即边长对应比值不恒为常数）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年江西高考理科数学第 22 题压轴题，背景为丢番图方程 $x^2+y^2=2z^2$ 的整数解与平面几何三边不等式的结合。
2. 结论推广：一般地，对于方程 $x^2+y^2=2z^2$，其通解形式可由高斯整数或参数化公式 $x=m^2-2mn-n^2,z=m^2+n^2,y=m^2+2mn-n^2$ 完全给出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和