2010-浙江卷理-03 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本量（公比 $q$）计算及前 $n$ 项和的比值化简。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$8a_2+a_5=0$，则 $\frac{S_5}{S_2}=$()

A. $11$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $-8$　　　　　　　D. $-11$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $8a_2+a_5=0$ 结合通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 解出公比 $q$。
2. 将 $q$ 代入 $\frac{S_5}{S_2}$ 的表达式化简求值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求公比 $q$ 设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 由 $8a_2+a_5=0$ 得： $8a_{1}q+a_1{q}^4=0$

因为 $a_1\ne 0,q\ne 0$，两边同除以 $a_{1}q$： $8+q^3=0⟹q^3=-8⟹q=-2$

第二步：求 $\frac{S_5}{S_2}$ 根据等比数列求和公式： $\frac{S_5}{S_2}=\frac{\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}}{\frac{a_1(1-q^2)}{1-q}}=\frac{1-q^5}{1-q^2}$

代入 $q=-2$： $\frac{S_5}{S_2}=\frac{1-(-2{)}^5}{1-(-2{)}^2}=\frac{1-(-32)}{1-4}=\frac{33}{-3}=-11$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 与求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
2. 核心方法：求出基本量公比 $q\to$ 利用比值公式约去 $a_1$。
3. 避坑指南：注意负数乘方时的符号，$(-2{)}^5=-32$，$(-2{)}^2=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：等比数列基本量计算基础题。
2. 结论推广：对等比数列，$\frac{S_{kn}}{S_n}$ 的值仅取决于公比 $q$ 与 $k,n$，与首项 $a_1$ 无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件