2010-湖北卷理-08 单-排列组合

本题导读

本题考查有限制条件的排列组合问题，重点在于“5人分4组”的结构分析与特殊元素/岗位（司机）的限制处理。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ()

A. 152　　　　　　B. 126　　　　　　C. 90　　　　　　D. 54

🔍【思路分析】

破题导航

1. 5 名同学分配到 4 项工作且每项至少 1 人，必然是“有一项工作 2 人，其余 3 项工作各 1 人”（即分组模式为 $2+1+1+1$）。
2. 根据“司机”岗位的参加人数分类讨论：

• 第一类：司机岗位有 1 人（只能从丙、丁、戊中选 1 人）。
• 第二类：司机岗位有 2 人（只能从丙、丁、戊中选 2 人）。

3. 分别计算两类情况下的分配方案数并求和。

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B

✍【详细解析】

Abstract

将 5 人分为 4 组（组的人数分别为 $2,1,1,1$）并分配到 4 项工作。 由于“甲、乙不会开车”，故司机岗位的人选只能从丙、丁、戊 3 人中产生。

情况一：司机岗位只有 1 人

1. 从丙、丁、戊中选 1 人做司机，有 $C_3^1=3$ 种选法。
2. 剩余 4 人分配到其余 3 项工作，必有 2 人在同一项工作。从 4 人中选 2 人复合为一组，有 $C_4^2=6$ 种选法。
3. 将这 3 组全排列分配到其余 3 项工作，有 $A_3^3=6$ 种排法。 此时方案数为：$3\times 6\times 6=108$ 种。

情况二：司机岗位有 2 人

1. 从丙、丁、戊中选 2 人做司机，有 $C_3^2=3$ 种选法（这两人在同一组）。
2. 剩余 3 人各自独立担任其余 3 项工作，全排列有 $A_3^3=6$ 种排法。 此时方案数为：$3\times 6=18$ 种。

综合两类情况，不同安排方案的总种数为：$108+18=126$ 种。 故选 B.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的平均/不平均分组分配问题。
2. 核心方法：优先考虑特殊元素/位置（“司机”岗位只能由丙、丁、戊担任），进行分类讨论。
3. 避坑指南：切忌先无限制任意分组再扣除，容易因多重重叠导致算错；分类时注意“司机为2人”时这两名司机已经天然绑定为一组，不需要再对剩余人员重新做 $2+1+1$ 分组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-3第一章《计数原理》分组分配模型的应用延伸。
2. 结论推广：把 $n$ 个元素分配到 $m$ 个位置（$n>m$），若某位置只能由 $k$ 个特定元素担任，优先按该位置分配的元素个数 $1,2,\dots ,n-m+1$ 进行分类求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用