2010-湖北卷理-17 解-均值不等式

本题导读

本题考查利用待定系数法建立实际应用问题的函数模型，并运用基本不等式求函数的最值。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可以使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 $C$（单位：万元）与隔热层厚度 $x$（单位：$\text{cm}$）满足关系：$C(x)=\frac{k}{3x+5}$ ($0\le x\le 10$)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元. 设 $f(x)$ 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.

(1) 求 $k$ 的值及 $f(x)$ 的表达式.

(2) 隔热层修建多厚时，总费用 $f(x)$ 达到最小，并求最小值.

🔍【思路分析】

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1. 不建隔热层即 $x=0$，由 $C(0)=8$ 求出 $k$；将建造成本 $6x$ 与 20 年能耗费用 $20C(x)$ 相加得到 $f(x)$。
2. 将 $f(x)$ 中的一次项 $6x$ 配凑成 $2(3x+5)-10$，利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求最值，并验证等号成立条件是否在定义域 $[0,10]$ 内。

✅【答案】

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𝑘=40，𝑓(𝑥)=8003𝑥+5+6𝑥；隔热层厚5cm时总费用最小，最小值为70万元.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，当不建隔热层时，$x=0$，此时 $C(0)=8$ 万元。 代入 $C(x)=\frac{k}{3x+5}$ 得： $\frac{k}{3\times 0+5}=8⟹k=40$ 建造厚度为 $x$ $\text{cm}$ 的隔热层，建造成本为 $6x$ 万元，20 年的能源消耗费用为 $20C(x)=20\times \frac{40}{3x+5}=\frac{800}{3x+5}$ 万元。 故总费用 $f(x)$ 的表达式为： $f(x)=6x+\frac{800}{3x+5}(0\le x\le 10)$

(2) 将 $f(x)$ 进行配凑变形： $f(x)=2(3x+5)+\frac{800}{3x+5}-10$ 因为 $0\le x\le 10$，所以 $3x+5\ge 5>0$。 由基本不等式可得： $2(3x+5)+\frac{800}{3x+5}\ge 2\sqrt{2(3x+5)\cdot \frac{800}{3x+5}}=2\sqrt{1600}=80$ 当且仅当 $2(3x+5)=\frac{800}{3x+5}$ 时，等号成立。 解得 $(3x+5{)}^2=400⟹3x+5=20⟹x=5$。 因为 $x=5\in [0,10]$，所以等号可以取到。 此时 $f(x)$ 的最小值为 $80-10=70$ 万元。

答：当隔热层修建 $5\text{ cm}$ 厚时，总费用 $f(x)$ 达到最小，最小值为 $70$ 万元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数模型的构建与基本不等式（均值不等式）求最值。
2. 核心方法：配凑法（将 $6x$ 变形为 $2(3x+5)-10$ 以满足“积为定值”的条件）。
3. 避坑指南：第 (1) 问注意区分“每年能耗”与“20年能耗”，别漏乘 20；第 (2) 问必须验证等号成立时 $x$ 的取值是否落在定义域 $[0,10]$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修一《函数与方程》以及必修五《基本不等式》结合的实际生活成本最优化模型。
2. 结论推广：在双钩函数模型 $y=ax+\frac{b}{cx+d}$ 中，常通过配凑使 $ax=\frac{a}{c}(cx+d)-\frac{ad}{c}$，利用均值不等式求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明