2010-湖南卷文-03 单-回归方程负相关

本题导读

考查相关关系。销售量随价格升高而减少为负相关，回归方程一次项系数必为负，只有 A 符合（且 $x=0$ 时截距 $200>0$ 合理），选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 某商品销售量 $y$（件）与销售价格 $x$（元/件）负相关，则其回归方程可能是()

A. $\hat{y}=-10x+200$　　B. $\hat{y}=10x+200$　　C. $\hat{y}=-10x-200$　　D. $\hat{y}=10x-200$

🔍【思路分析】

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1. 负相关 $\Rightarrow$ $\hat{y}$ 随 $x$ 增大而减小 $\Rightarrow$ 斜率为负，排除 B、D。
2. 销售量为非负量，C 中截距 $-200$ 使预测值在低价时为负，不合理。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

销售价格 $x$ 越高，销售量 $y$ 越少，故 $y$ 与 $x$ 负相关，回归方程的一次项系数应为负数，排除 B、D. 又销售量 $y$ 应为正数：若选 C，则 $\hat{y}=-10x-200<0$ 恒不成立，不合实际； 选 A，$\hat{y}=-10x+200$，当 $0<x<20$ 时 $\hat{y}>0$，符合实际. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：回归方程与负相关

核心方法：负相关 $\Rightarrow$ 回归方程一次项系数为负，再结合实际意义筛选截距

避坑指南：两个候选系数都为负时，还要检验 $y$ 的实际意义：销售量不能恒为负，C 选项截距 $-200$ 使 $\hat{y}$ 恒负，排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相关性与回归方程结合的题目，先看斜率符号再看实际背景。

结论推广：$\hat{y}=bx+a$ 中 $b<0$ 为负相关、$b>0$ 为正相关；截距与斜率共同决定预测值范围。

方法推广：选回归方程两步走：① 斜率符号对不对；② 预测值在实际问题里是否合理（非负、量级）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-03 单-散点图相关性
• 2013-湖北卷文-04 单-回归正负相关
• 2012-湖南卷文-05 单-回归直线概念
• 2015-湖北卷文-04 单-相关性判断