2010-湖南卷理-07 单-排列组合

本题导读

本题考查信息编码中的组合计数问题，考查“至多”条件的分类与对立计数技巧。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ()

A. 10　　　　　　　B. 11　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 15

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算由 0 和 1 组成的 4 位二进制信息总数 $2^4=16$ 个。
2. “至多有两个位置相同”的对立面为“有 3 个位置相同”或“有 4 个位置相同”。
3. 算出对立面个数并用总数扣除。

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B

✍【详细解析】

Abstract

解析（间接法）： 由 0 和 1 组成长为 4 的序列，每个位置有 0 或 1 两种选择，信息总数为 $2^4=16$ 个。 与信息 0110 相比：

• 4 个位置完全相同：只有 0110 本身，共 1 个；
• 恰有 3 个位置相同（即恰有 1 个位置不同）： 选 1 个位置与 0110 不同（由于数字只有 0 和 1，该位置数字被唯一确定翻转），选法为 $C_4^1=4$ 个。 故与 0110 有 3 个或 4 个位置相同的元素共有 $1+4=5$ 个。

因此，与信息 0110 “至多有两个对应位置上的数字相同”的信息个数为： $16-5=11$ 故选 B.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步计数原理、组合数性质、间接法计数。
2. 核心方法：间接法（总数 $-$ 否定条件数）。
3. 避坑指南：注意“数字允许重复”，总数为 $2^4=16$ 而非 $A_4^4$；分类时确保“恰有 3 个相同”计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于信息论中的“汉明距离”（Hamming Distance）概念初等化题目。
2. 结论推广：长为 $n$ 的 0-1 序列中，与给定序列汉明距离不大于 $k$ 的序列个数为 ${\sum }_{i=0}^k{C}_n^i$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用