2010-湖南卷理-14 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线标准方程及其焦点弦问题，通过联立直线与抛物线方程求梯形面积并求解参数 $p$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 过抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A,B$ 两点，$A,B$ 在 $x$ 轴上的正投影分别为 $D,C$. 若梯形 $ABCD$ 的面积为 $12\sqrt{2}$，则 $p=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 写出抛物线的焦点坐标 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$ 及过焦点的直线方程 $y=x+\frac{p}{2}$。
2. 联立直线与抛物线方程，求出交点坐标或利用韦达定理表示 $A,B$ 的坐标。
3. 梯形 $ABCD$ 底边为 $A,B$ 的纵坐标 $y_1,y_2$，高为 $|x_1-x_2|$，根据梯形面积公式 $S=\frac{1}{2}(y_1+y_2)|x_1-x_2|=12\sqrt{2}$ 建立方程求解 $p$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 的焦点为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$。 过焦点且斜率为 1 的直线方程为： $y=x+\frac{p}{2}⟹x=y-\frac{p}{2}$

联立直线与抛物线方程： ${\left(y-\frac{p}{2}\right)}^2=2py⟹y^2-3py+\frac{p^2}{4}=0$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=3p\\ y_1{y}_2=\frac{p^2}{4}\end{array}$

由 $x_1-x_2=(y_1-\frac{p}{2})-(y_2-\frac{p}{2})=y_1-y_2$，计算 $|x_1-x_2|$： $|x_1-x_2|=|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\sqrt{(3p{)}^2-4\times \frac{p^2}{4}}=\sqrt{8p^2}=2\sqrt{2}p$

在梯形 $ABCD$ 中，上底与下底长分别为 $y_1,y_2$，高为 $|x_1-x_2|$。 故梯形 $ABCD$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}(y_1+y_2)|x_1-x_2|=\frac{1}{2}\times 3p\times 2\sqrt{2}p=3\sqrt{2}{p}^2$

由题意 $3\sqrt{2}{p}^2=12\sqrt{2}$，得： $p^2=4⟹p=2(\text{因 }p>0)$

【答案】：2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：开口向上的抛物线焦点坐标、焦点弦与几何图形（梯形）面积计算。
2. 核心方法：设而不求法（联立方程运用韦达定理）。
3. 避坑指南：抛物线方程为 $x^2=2py$，焦点在 $y$ 轴上为 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$，切勿误用 $y^2=2px$ 的焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》抛物线焦点弦综合题。
2. 结论推广：对抛物线 $x^2=2py$，过焦点倾角为 $\theta$ 的直线截得梯形 $ABCD$ 面积为 $S=\frac{2p^2\cos \theta }{{\sin }^3\theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点