2010-湖南卷理-15 填-数列

本题导读

本题为新定义创新题，考查理解映射定义 $(a_n{)}^{\ast }$ 的含义，计算满足 $a_m<n$ 的正整数 $m$ 的个数，并求解两次新定义作用后的新通项。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，只有有限个正整数 $m$ 使得 $a_m<n$ 成立，记这样的 $m$ 的个数为 $(a_n{)}^{\ast }$，则得到一个新的数列 $\{(a_n{)}^{\ast }\}$. 例如，若数列 $\{a_n\}$ 是 $1,2,3,\cdots ,n,\cdots$，则数列 $\{(a_n{)}^{\ast }\}$ 是 $0,1,2,\cdots ,n-1,\cdots$. 已知对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_n=n^2$，则 $(a_5{)}^{\ast }=$ $\underline{}$， $((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：$(a_n{)}^{\ast }$ 表示满足 $a_m<n$ 的正整数 $m$ 的个数。
2. 求 $(a_5{)}^{\ast }$：当 $n=5$ 时，求满足 $a_m=m^2<5$ 的正整数 $m$ 的个数。
3. 求 $(a_n{)}^{\ast }$ 的通项：对一般正整数 $n$，求解满足 $m^2<n⟹m<\sqrt{n}$ 的正整数 $m$ 的个数，即为 $[\sqrt{n}-1]$（其中小于 $\sqrt{n}$ 的最大正整数）。
4. 求 $((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }$：设 $b_n=(a_n{)}^{\ast }$，计算满足 $b_m<n$ 的正整数 $m$ 的个数。

✅【答案】

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$2，n2$

✍【详细解析】

Abstract

根据新定义，$(a_n{)}^{\ast }$ 表示满足 $a_m<n$ 的正整数 $m$ 的个数。已知 $a_n=n^2$，即 $a_m=m^2$。

第一空：求 $(a_5{)}^{\ast }$ 当 $n=5$ 时，要使 $a_m<5$，即 $m^2<5$ ($m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。 满足条件的正整数 $m$ 可以为 $1,2$（因为 $1^2=1<5$，$2^2=4<5$，$3^2=9>5$）。 这样的正整数 $m$ 共有 2 个，所以 $(a_5{)}^{\ast }=2$。

第二空：求 $((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }$ 首先分析 $b_n=(a_n{)}^{\ast }$ 的通项表达式： 对于任意正整数 $n$，满足 $a_m=m^2<n$ 的正整数 $m$ 满足 $m<\sqrt{n}$。 故 $m$ 的最大可能值为小于 $\sqrt{n}$ 的最大整数。 当 $n=1$ 时，$m^2<1$ 无正整数解，故 $b_1=(a_1{)}^{\ast }=0$； 当 $n\in (k^2,(k+1{)}^2]$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时，满足 $m^2<n$ 的最大正整数 $m$ 为 $k$，即 $b_n=k$。 （即 $b_n$ 代表比 $\sqrt{n}$ 小的最大非负整数）。

现在求 $c_n=(b_n{)}^{\ast }=((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }$，其定义为满足 $b_m<n$ 的正整数 $m$ 的个数。 因为 $b_m<n⟺b_m\le n-1$。 由 $b_m$ 的含义，当 $m=n^2$ 时，$b_{n^2}=n-1$；当 $m=n^2+1$ 时，$b_{n^2+1}=n$。 由于 $b_m$ 关于 $m$ 是单调递增的，所以满足 $b_m\le n-1$ 的最大正整数 $m$ 为 $n^2$。 即满足 $b_m<n$ 的正整数 $m$ 为 $1,2,3,\cdots ,n^2$。 这样的正整数 $m$ 共有 $n^2$ 个。 所以 $((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }=n^2$。

【答案】：$2$；$n^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义运算性质、计数映射、取整函数及其逆运算。
2. 核心方法：特值法代入（求解第一空）、不等式转化为连续区间计数（求解第二空）。
3. 避坑指南：第二空分析 $b_m<n$ 时，容易忽视 $b_m$ 在不同区间上的阶梯型取值特征，利用临界点 $m=n^2$ 能迅速锁定取值边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于高等数学与组合数学中“对偶数列/杨氏矩阵”计数特性的初等化改造。
2. 结论推广：若数列 $\{a_n\}$ 为严格递增的正整数数列，则映射 $\ast$ 具有自对偶性质，即 $((a_n{)}^{\ast }{)}^{\ast }=a_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式
• 2014-上海卷文-23 解-数列不等式