2010-福建卷文-02 单-二倍角求值

本题导读

考查二倍角。$1-2{\sin }^{2}22.5^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 计算 $1-2{\sin }^{2}22.5^{\circ }$ 的结果等于()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逆用 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，取 $\alpha =22.5^{\circ }$。
2. 原式 $=\cos 45^{\circ }$。
3. $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由余弦二倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，取 $\alpha =22.5^{\circ }$，得 $1-2{\sin }^{2}22.5^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦二倍角的逆用

核心方法：$1-2{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$ 直接套用

避坑指南：角度是 $22.5^{\circ }$，倍角是 $45^{\circ }$ 不是 $25^{\circ }$；$\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是特殊角值，别与 $\cos 30^{\circ }$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：升幂降幂公式是三角求值的第一反应工具。

结论推广：$1-2{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 三种形态互换。

方法推广：半角 $22.5^{\circ }$、$15^{\circ }$ 的求值都是二倍角公式的直接应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角
• 2013-江西卷文-03 单-二倍角求值