2010-福建卷文-17 解-Sn与通项及等差中项

本题导读

考查等比数列。$a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$，$S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$；等差中项给 $2t(S_1+S_2)=S_1+3(S_2+S_3)$，$t=2$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}-S_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$ 以及前 $n$ 项和 $S_n$；

(2) 若 $S_1$，$t(S_1+S_2)$，$3(S_2+S_3)$ 成等差数列，求实数 $t$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$（$n⩾1$），又 $a_1=\frac{1}{3}$，故 $a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$。
2. 等比求和：$S_n=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$。
3. $S_1=\frac{1}{3}$，$S_2=\frac{4}{9}$，$S_3=\frac{13}{27}$，$S_1+S_2=\frac{7}{9}$，$S_2+S_3=\frac{25}{27}$。
4. 等差中项：$2t(S_1+S_2)=S_1+3(S_2+S_3)$，即 $\frac{14t}{9}=\frac{1}{3}+\frac{25}{9}=\frac{28}{9}$，$t=2$。

✅【答案】

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(1) $a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$，$S_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$

(2) $t=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由前 $n$ 项和的定义，$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，所以当 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 时， $a_{n+1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}.$ 结合 $a_1=\frac{1}{3}$，可得 $a_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$. $S_n={\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$ (2) 由上式得 $S_1=\frac{1}{3}$，$S_2=\frac{4}{9}$，$S_3=\frac{13}{27}$. 三个数成等差数列，中间项的两倍等于两端之和，即 $2t(S_1+S_2)=S_1+3(S_2+S_3).$ 代入 $S_1+S_2=\frac{7}{9}$，$S_2+S_3=\frac{25}{27}$： $2t\cdot \frac{7}{9}=\frac{1}{3}+3\cdot \frac{25}{27}=\frac{1}{3}+\frac{25}{9}=\frac{28}{9},$ 解得 $t=2$. 故实数 $t$ 的值为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_{n+1}-S_n$ 型等比数列与等差中项

核心方法：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 直接得通项，求和公式套等比；中项条件列线性方程

避坑指南：$a_1=\frac{1}{3}$ 恰与 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^1$ 一致，通项对 $n=1$ 也成立，无需分段；等差中项是”中间项两倍”，$t$ 挂在中间项上，列式别写成 $t(S_1+S_2)\times 2$ 以外的形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_{n+1}-S_n=$ 常比式递推的数列必为等比数列（$n⩾1$）。

结论推广：等比求和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，$q=\frac{1}{3}<1$。

方法推广：“成等差数列”翻译成 $2B=A+C$，本题 $B=t(S_1+S_2)$、$A=S_1$、$C=3(S_2+S_3)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-17 解-等差等比数列
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-辽宁卷文-17 解-等比数列求和