2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列

本题导读

考查数列综合。$a_n=4n$，$b_n=2^{1-n}$；$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+1{)}^2}{2n^2}$，$c_{n+1}<c_n⟺n^2-2n-1>0⟺n⩾3$。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2n^2+2n$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n=2-b_n$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $c_n=a_n^2\cdot b_n$，证明：当且仅当 $n⩾3$ 时，$c_{n+1}<c_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=4n$，$n=1$ 也成立。
2. $T_1=b_1=2-b_1$ 得 $b_1=1$；$b_n=T_n-T_{n-1}=b_{n-1}-b_n$，即 $b_n=\frac{1}{2}{b}_{n-1}$，故 $b_n=2^{1-n}$。
3. $c_n=16n^2\cdot 2^{1-n}$，$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+1{)}^2}{2n^2}$。
4. $c_{n+1}<c_n⟺(n+1{)}^2<2n^2⟺n^2-2n-1>0⟺n>1+\sqrt{2}⟺n⩾3$。

✅【答案】

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(1) $a_n=4n$，$b_n=2^{1-n}$；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=2+2=4$。当 $n⩾2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+2n)-\left(2(n-1{)}^2+2(n-1)\right)=4n$。 所以对一切 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，都有 $a_n=4n$。 由 $T_1=b_1=2-b_1$，得 $b_1=1$。当 $n⩾2$ 时， $b_n=T_n-T_{n-1}=(2-b_n)-(2-b_{n-1})=b_{n-1}-b_n$， 所以 $2b_n=b_{n-1}$，即 $b_n=\frac{1}{2}{b}_{n-1}$。递推可得 $b_n=2^{1-n}$。 因此 $a_n=4n$，$b_n=2^{1-n}$。 (2) 由 (1)，$c_n=a_n^2{b}_n=(4n{)}^2\cdot 2^{1-n}$。因为 $c_n>0$，所以 $\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{16(n+1{)}^2\cdot 2^{-n}}{16n^2\cdot 2^{1-n}}=\frac{(n+1{)}^2}{2n^2}$。 于是 $c_{n+1}<c_n⟺\frac{(n+1{)}^2}{2n^2}<1⟺(n+1{)}^2<2n^2⟺n^2-2n-1>0$。 由于 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$，上式等价于 $n>1+\sqrt{2}$，也等价于 $n⩾3$。当 $n=1,2$ 时不等式不成立， 故当且仅当 $n⩾3$ 时，$c_{n+1}<c_n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列的通项与作比比较

核心方法：$S_n$ 差分 + 递推构造 + 作比

避坑指南：$T_n=2-b_n$ 型递推把 $b_n$ 移到一边即得 $2b_n=b_{n-1}$；作比 $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ 后解二次不等式 $n^2-2n-1>0$，注意 $n$ 为正整数故 $n⩾3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 互化时 $n=1$ 必须单独验证。

结论推广：$T_n=2-b_n$ 这类”和与项混合”先令 $n=1$ 求 $b_1$，再 $n⩾2$ 作差。

方法推广：作比比较大小要求各项为正，$c_n>0$ 需先说明。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和