2010-福建卷文-19 解-抛物线方程与平行线距离

本题导读

考查抛物线。$y^2=4x$，准线 $x=-1$；$|c|=1$，$c=1$ 时 $\Delta =48>0$ 合题，$l:y=-2x+1$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）过点 $A(1,-2)$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程；

(2) 是否存在平行于 $OA$（$O$ 为坐标原点）的直线 $l$，使得直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有公共点，且直线 $OA$ 与 $l$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 代入 $A(1,-2)$：$4=2p$，$p=2$，$C:y^2=4x$，准线 $x=-1$。
2. $k_{OA}=-2$，设 $l:y=-2x+c$。
3. 距离：$\frac{|c|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$|c|=1$，$c=\pm 1$。
4. 联立 $(-2x+c{)}^2=4x$：$4x^2-4(c+1)x+c^2=0$，$\Delta =16(2c+1)$。
5. $c=1$：$\Delta =48>0$ 有公共点；$c=-1$：$\Delta =-16<0$ 无公共点。故 $l:y=-2x+1$。

✅【答案】

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(1) $y^2=4x$，准线 $x=-1$

(2) 存在，$l:y=-2x+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将点 $A(1,-2)$ 代入 $y^2=2px$，得 $4=2p$，所以 $p=2$. 抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x,$ 其标准形式为 $y^2=4ax$（$a=1$），准线方程为 $x=-1$. (2) 直线 $OA$ 的斜率为 $\frac{-2}{1}=-2$，故与它平行的直线 $l$ 可设为 $y=-2x+c$. 直线 $OA$ 与 $l$ 的方程分别为 $2x+y=0$ 与 $2x+y-c=0$，由平行线间的距离公式， $\frac{|c|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|c|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},$ 所以 $|c|=1$，即 $c=1$ 或 $c=-1$. 将 $y=-2x+c$ 代入 $y^2=4x$，得 $(2x-c{)}^2=4x\text{即}4x^2-4(c+1)x+c^2=0,$ 其判别式 $\Delta =16(c+1{)}^2-16c^2=16(2c+1)$. 当 $c=1$ 时，$\Delta =48>0$，直线与抛物线有公共点；当 $c=-1$ 时，$\Delta =-16<0$，直线与抛物线没有公共点. 因此存在满足条件的直线，其方程为 $y=-2x+1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线方程、准线与平行线距离

核心方法：代入点定 $p$；平行线间距离公式定 $c$；判别式筛掉无公共点的支

避坑指南：准线是 $x=-\frac{p}{2}=x_{\text{焦}}-p$ 的镜像 $x=-1$，符号别写成 $x=1$；$c=-1$ 时 $\Delta =-16<0$ 必须交代，只答 $y=-2x+1$ 不写淘汰过程会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行线 $Ax+By=0$ 与 $Ax+By+c=0$ 的距离为 $\frac{|c|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

结论推广：“存在性”题的完整套路：设参数 $\to$ 必要条件（距离） $\to$ 充分性验证（判别式）。

方法推广：抛物线与直线的公共点问题用判别式，$c=1$ 与 $c=-1$ 两支逐一检验是本题核心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆
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