2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与准线，以及直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 如图，设 $P$ 为抛物线 $C_1:x^2=y$ 上的动点，过点 $P$ 做圆 $C_2:x^2+(y+3{)}^2=1$ 的两条切线，交直线 $l:y=-3$ 于 $A$，$B$ 两点.

(1) 求 $C_2$ 的圆心 $M$ 到抛物线 $C_1$ 准线的距离.

(2) 是否存在点 $P$，使线段 $AB$ 被抛物线 $C_1$ 在点 $P$ 处的切线平分？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 准线 $y=-\frac{1}{4}$
2. 步骤2：圆心 $M(0,-3)$
3. 步骤3：距离 $\frac{11}{4}$
4. 步骤4：(2) 设 $P(t,t^2)$

✅【答案】

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(1) $\frac{11}{4}$

(2) 存在，$P=\left(\sqrt[4]{8},2\sqrt{2}\right)$ 或 $P=\left(-\sqrt[4]{8},2\sqrt{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $x^2=y$ 即 $x^2=4py$，$4p=1$，准线 $y=-\frac{1}{4}$。圆 $C_2$ 的圆心 $M(0,-3)$。

$M$ 到准线的距离为 $\left|-3+\frac{1}{4}\right|=\frac{11}{4}$。

(2) 设 $P=(t,t^2)$（$t\in \mathrm{R}$），$l$ 上一点 $X=(u,-3)$。过 $P$，$X$ 的直线为

$(t^2+3)(x-u)-(t-u)(y+3)=0$。

圆心 $M(0,-3)$ 到该直线的距离等于半径 $1$ 当且仅当直线为切线：

$\frac{(t^2+3{)}^2{u}^2}{(t^2+3{)}^2+(t-u{)}^2}=1$。

记 $K=(t^2+3{)}^2$，整理得 $(K-1)u^2+2tu-(K+t^2)=0$。两条切线与 $l$ 的交点横坐标 $u_1$，$u_2$ 为其两根，中点横坐标 $\frac{u_1+u_2}{2}=-\frac{t}{K-1}$。

$t=0$ 时抛物线在 $P$ 处的切线为 $y=0$，与 $l$ 平行，不能平分线段 $AB$，舍。

$t\ne 0$ 时，切线 $y=2tx-t^2$ 与 $l$ 的交点横坐标为 $\frac{t^2-3}{2t}$。平分条件即

$\frac{t^2-3}{2t}=-\frac{t}{K-1}$。

由 $K-1=(t^2+3{)}^2-1=(t^2+2)(t^2+4)$，去分母整理：

$(t^2-3)(t^2+2)(t^2+4)+2t^2=0$。

令 $s=t^2⩾0$：$(s-3)(s+2)(s+4)+2s=0$，展开得 $s^3+3s^2-8s-24=0$，即 $(s+3)(s^2-8)=0$。

由 $s⩾0$ 得 $s=2\sqrt{2}$，故 $t=\pm \sqrt{2\sqrt{2}}=\pm \sqrt[4]{8}$，纵坐标 $t^2=2\sqrt{2}$。

对应的 $P$ 到圆心 $M$ 的距离 $P{M}^2=t^2+(t^2+3{)}^2>1$，两条切线确实存在。

故存在满足条件的点：$P=\left(\sqrt[4]{8},2\sqrt{2}\right)$ 或 $P=\left(-\sqrt[4]{8},2\sqrt{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线方程；韦达定理与中点；三次方程的因式分解

核心方法：把”过 P 的直线与圆相切”写成距离等式得到关于 $u$ 的二次方程；中点条件转化为”切线与 $l$ 的交点 = 弦中点”；换元 $s=t^2$ 后因式分解

避坑指南：$t=0$ 时切线 $y=0$ 与 $l$ 平行须先行排除；两点式直线 $(t^2+3)(x-u)-(t-u)(y+3)=0$ 中 $M$ 代入后 $y+3=0$，距离分子只剩 $(t^2+3)|u|$；$(s+3)(s^2-8)=0$ 的负根 $s=-3$ 舍去（$s⩾0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线切线题与 2012-福建卷文-21、2015-浙江卷文-19、2013-辽宁卷文-20 同族。

结论推广：推广：$P(t,t^2)$ 处抛物线 $x^2=y$ 的切线恒为 $y=2tx-t^2$；过 $P$ 的切线弦在定直线 $y=y_0$ 上的中点轨迹可由韦达定理统一表出。

方法推广：解析几何存在性题：设参数 → 切线条件 → 韦达定理表中点 → 中点落在切线上 → 解方程；参数方程次数高时先换元再分解因式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-21 解-抛物线切线定点
• 2015-浙江卷文-19 解-抛物线切线
• 2013-辽宁卷文-20 解-抛物线双切线