2010-福建卷理-08 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划确定平面区域、轴对称变换的几何性质以及点到直线距离公式的应用。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 设不等式组 $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x-2y+3\ge 0\\ y\ge x\end{array}$ 所表示的平面区域是 ${\Omega }_1$，平面区域 ${\Omega }_2$ 与 ${\Omega }_1$ 关于直线 $3x-4y-9=0$ 对称.对于 ${\Omega }_1$ 中的任意点 $A$ 与 ${\Omega }_2$ 中的任意点 $B$，$|AB|$ 的最小值等于()

A. $\frac{28}{5}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $\frac{12}{5}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式组确定平面区域 ${\Omega }_1$ 的三个顶点坐标。
2. 验证 ${\Omega }_1$ 与对称轴 $l:3x-4y-9=0$ 不相交。
3. 利用轴对称性质，将 $|AB|$ 的最小值转化为 $2\times ({\Omega }_1\text{ 到直线 }l\text{ 的最小距离})$，求出顶点到直线的距离最小值即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解不等式组构成的边界直线交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=x\end{array}⟹P_1(1,1)$
• 由 $\{\begin{array}{l}x=1\\ x-2y+3=0\end{array}⟹P_2(1,2)$
• 由 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x-2y+3=0\end{array}⟹P_3(3,3)$

所以平面区域 ${\Omega }_1$ 是以 $P_1(1,1),P_2(1,2),P_3(3,3)$ 为顶点的三角形区域。

设对称轴直线方程为 $l:3x-4y-9=0$。 分别计算三角形三个顶点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|3x-4y-9|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3x-4y-9|}{5}$：

• 点 $P_1(1,1)$ 到 $l$ 的距离 $d_1=\frac{|3(1)-4(1)-9|}{5}=\frac{10}{5}=2$
• 点 $P_2(1,2)$ 到 $l$ 的距离 $d_2=\frac{|3(1)-4(2)-9|}{5}=\frac{14}{5}=2.8$
• 点 $P_3(3,3)$ 到 $l$ 的距离 $d_3=\frac{|3(3)-4(3)-9|}{5}=\frac{12}{5}=2.4$

由于 ${\Omega }_1$ 整体位于直线 $l$ 的同一侧，${\Omega }_1$ 到直线 $l$ 的最小距离为 $d_{\min }=2$（在点 $P_1$ 处取得）。

由对称性可知，${\Omega }_1$ 中的点 $A$ 与其对称区域 ${\Omega }_2$ 中的点 $B$ 之间的距离 $|AB|$ 的最小值等于 ${\Omega }_1$ 到直线 $l$ 最小距离的 $2$ 倍： $|AB{|}_{\min }=2\times d_{\min }=2\times 2=4$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域顶点求解、对称性应用、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：转化思想（两对称区域间最短距离转化成区域顶点到对称轴距离的 2 倍）。
3. 避坑指南：若区域跨越了对称轴，则最短距离为 $0$；因此计算前需验证区域是否均在对称轴同一侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 结合线性规划与轴对称性质的几何综合创新题。
2. 结论推广: 若图形 $S_1,S_2$ 关于直线 $l$ 对称且位于 $l$ 异侧，则 ${\min }_{A\in S_1,B\in S_2}|AB|=2\cdot d(S_1,l)$。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

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• 2011-四川卷文-10 单-线性规划实际应用
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