2011-上海卷文-09 填-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及二元不等式组表示的区域。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}3x-y⩽0,\\ x-3y+5⩾0,\end{array}$ 则 $z=x+y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：画边界 $y=3x$ 与 $y=\frac{x+5}{3}$
2. 步骤2：$z=x+y$ 沿 $x$ 增大方向取最大

✅【答案】

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$\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

约束即 $y⩾3x$ 且 $y⩽\frac{x+5}{3}$。两边界交点：$3x=\frac{x+5}{3}$，$x=\frac{5}{8}$，$y=\frac{15}{8}$。

在区域内 $z=x+y⩽x+\frac{x+5}{3}=\frac{4x+5}{3}$，随 $x$ 递增，故在最大 $x$ 处（即交点）取最大：

$z_{\max }=\frac{5}{8}+\frac{15}{8}=\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域的顶点与线性目标函数最值

核心方法：求两边界交点，利用 $z$ 沿某方向的单调性确定最值点

避坑指南：区域在 $y=3x$ 上方、$y=\frac{x+5}{3}$ 下方，沿 $x$ 轴负向开口无界但 $z$ 在正向受限；最大在两线交点而非无穷远。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划题与 2012-上海卷文-10、2011-天津卷文-02、2012-浙江卷文-14 同族。

结论推广：推广：可行域无界时线性目标仍可能在顶点处取得最值（当目标函数沿无界方向不增时）；须检验无界方向。

方法推广：无界可行域：先判断目标函数沿”开口方向”的变化，确认最值存在后再找顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-10 填-绝对值约束线性规划
• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围