2010-福建卷理-09 单-复数

本题导读

本题考查集合的乘法封闭性、元素的互异性以及复数的基本运算与性质。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 对于复数 $a,b,c,d$，若集合 $S=\{a,b,c,d\}$ 具有性质“对任意 $x,y\in S$，必有 $xy\in S$”，则当 $\{\begin{array}{l}a=1\\ b^2=1\\ c^2=b\end{array}$ 时，$b+c+d$ 等于()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. i

🔍【思路分析】

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1. 由集合元素的互异性及已知条件 $a=1,b^2=1$，确定 $b=-1$。
2. 由 $c^2=b=-1$ 得 $c=\pm \mathrm{i}$。
3. 利用集合对乘法的封闭性 $c\cdot b\in S$，求出未知的第四个元素 $d$。
4. 计算代数式 $b+c+d$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $S=\{a,b,c,d\}$ 含有 4 个互不相同的元素，且已知 $a=1$。 由 $b^2=1$ 且 $b\ne a$，解得 $b=-1$。

又 $c^2=b=-1$，解得 $c=\mathrm{i}$ 或 $c=-\mathrm{i}$。 不妨设 $c=\mathrm{i}$（由对称性，设 $c=-\mathrm{i}$ 结论相同）。

此时已知 $S$ 中的三个元素为 $\{1,-1,\mathrm{i},d\}$。 因为集合 $S$ 对乘法封闭，所以 $b\cdot c\in S$。 即 $(-1)\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}\in S$。 由于 $-\mathrm{i}\ne 1,-\mathrm{i}\ne -1,-\mathrm{i}\ne \mathrm{i}$，因此必有 $d=-\mathrm{i}$。

此时 $S=\{1,-1,\mathrm{i},-\mathrm{i}\}$（即单位圆上的 4 个四次单位根），符合对任意 $x,y\in S$ 均有 $xy\in S$。

计算目标和： $b+c+d=-1+\mathrm{i}+(-\mathrm{i})=-1$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的互异性、乘法封闭性、虚数单位 $\mathrm{i}$ 的运算性质。
2. 核心方法：分析集合元素的构造（实际为单位根构成的乘法循环群）。
3. 避坑指南：注意 $b\ne a$，不能把 $b$ 取为 $1$；计算 $c=\pm \mathrm{i}$ 时需利用封闭性推出 $d$ 是 $c$ 的相反数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于代数学中有限复数乘法群（$n$ 次单位根集合）的概念。
2. 结论推广: 复数域上关于乘法封闭的 $n$ 元有限集必为 $n$ 次单位根集合 $S=\{e^{\frac{2k\pi \mathrm{i}}{n}}\mid k=0,1,\dots ,n-1\}$，其非单位元素之和为 $-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-16 单-复数与集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-19 解-复数运算