2010-福建卷理-10 单-不等式

本题导读

本题为新定义创新题，考查极限思想、函数渐近线概念以及对不等式恒成立条件的分析判断能力。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 对于具有相同定义域 $D$ 的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，若存在函数 $h(x)=kx+b$ ($k,b$ 为常数)，对任意给的正数 $m$，存在相应的 $x_0\in D$，使得当 $x\in D$ 且 $x>x_0$ 时，总有 $\{\begin{array}{l}0<f(x)-h(x)<m\\ 0<h(x)-g(x)<m\end{array}$，则称直线 $l:y=kx+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的“分渐近线”.给出定义域均为 $D=\{x\mid x>1\}$ 的四组函数如下： ① $f(x)=x^2,g(x)=\sqrt{x}$； ② $f(x)=10^{-x}+2,g(x)=\frac{2x-3}{x}$； ③ $f(x)=\frac{x^2+1}{x},g(x)=\frac{x\ln x+1}{\ln x}$； ④ $f(x)=\frac{2x^2}{x+1},g(x)=2(x-1-e^{-x})$. 其中，曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 存在“分渐近线”的是()

A. ①④　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ②④　　　　　　　D. ③④

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义：“分渐近线”满足当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)>h(x)>g(x)$ 且 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-h(x)]=0$ 和 ${\lim }_{x\to +\infty }[h(x)-g(x)]=0$。即 $h(x)$ 夹在 $f(x)$ 与 $g(x)$ 之间且无限趋近。
2. 依次分析各组函数：

• ① 两函数增幅不同，不存在线性渐近线。
• ② 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 2^{+}$， $g(x)\to 2^{-}$，考虑 $h(x)=2$。
• ③ 比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小，判断是否存在满足夹逼关系的直线。
• ④ 对 $f(x)$ 分式化简，发现斜渐近线为 $2x-2$，再检验 $g(x)$ 的趋近关系。

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存在“分渐近线”的是 ②④

✍【详细解析】

Abstract

根据“分渐近线”定义，本质要求：当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)>h(x)>g(x)$，且 $f(x)-h(x)\to 0^{+}$，$h(x)-g(x)\to 0^{+}$。

对四组函数依次判断：

• ① $f(x)=x^2,g(x)=\sqrt{x}$： 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)=x^2$ 增长速度远超一次函数，$g(x)=\sqrt{x}$ 增长速度低于一次函数，不存在一次函数 $h(x)=kx+b$ 使得两差值均趋于 $0$。故 ① 错误。

• ② $f(x)=10^{-x}+2,g(x)=\frac{2x-3}{x}=2-\frac{3}{x}$： 取 $h(x)=2$（即 $k=0,b=2$）。 当 $x>1$ 时： $f(x)-h(x)=10^{-x}>0$，且 ${\lim }_{x\to +\infty }10^{-x}=0$； $h(x)-g(x)=\frac{3}{x}>0$，且 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3}{x}=0$。 满足定义要求，所以 $y=2$ 为其“分渐近线”。故 ② 正确。

• ③ $f(x)=x+\frac{1}{x},g(x)=x+\frac{1}{\ln x}$： 当 $x>e$ 时，因为 $\ln x>1$，有 $\frac{1}{\ln x}>\frac{1}{x}⟹g(x)>f(x)$。 这与定义中要求 $f(x)>h(x)>g(x)$（即 $f(x)>g(x)$）矛盾。故 ③ 错误。

• ④ $f(x)=\frac{2x^2}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1},g(x)=2x-2-2e^{-x}$： 取 $h(x)=2x-2$。 当 $x>1$ 时： $f(x)-h(x)=\frac{2}{x+1}>0$，且 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2}{x+1}=0$； $h(x)-g(x)=2e^{-x}>0$，且 ${\lim }_{x\to +\infty }2e^{-x}=0$。 满足定义要求，所以 $y=2x-2$ 为其“分渐近线”。故 ④ 正确。

综上所述，存在“分渐近线”的是 ②④。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的渐近线、函数图象夹逼关系、极限性质。
2. 核心方法：将语言“对任意 $m>0$ 存在 $x_0\dots$”转化为极限条件分析。
3. 避坑指南：注意判定条件中的不等号是有方向的（$f(x)>h(x)>g(x)$），若出现 $g(x)>f(x)$ 的情况（如③），即使两函数渐近线相同也不符合“分渐近线”的定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高等数学中函数渐近线（水平渐近线与斜渐近线）与夹逼定理的高考化呈现。
2. 结论推广: 若 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 有相同的渐近线 $y=kx+b$，且 $f(x)$ 从上方趋近、$g(x)$ 从下方趋近，则该直线即为两者的“分渐近线”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明