2010-福建卷理-12 填-三视图

本题导读

本题考查由三视图还原三棱柱的几何特征，并计算其表面积。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正视图可知，正三棱柱的高 $h=1$。
2. 正视图由两个宽为 $1$ 的矩形组成，说明视图视角正对着一条侧棱，底面正三角形在投影面上的投影被分为相等的两段，即底面正三角形的边长 $a=1+1=2$。
3. 计算正三棱柱的两个底面积与三个侧面积之和，得到总表面积。

点击查看答案

$6+2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正视图可知：

• 三棱柱的高 $h=1$；
• 正视图中间的实线为前面一条侧棱的投影，底面正三角形在投影面上的投影被分为左右相等的两段，每段长为 $1$，故底面正三角形的边长 $a=1+1=2$。

计算面积：

• 单个底面正三角形的面积 $S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$；
• 侧面积（$3$ 个长为 $2$、宽为 $1$ 的矩形）$S_{\text{侧}}=3\times (2\times 1)=6$；

则三棱柱的表面积为： $S=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=6+2\sqrt{3}$

故答案为 $6+2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱的三视图识别与表面积公式。
2. 核心方法：根据正视图的宽度与内部实线确定底面正三角形的实际边长。
3. 避坑指南：容易误将正视图总宽度 $2$ 当作正三角形的高，需准确理解视角（视线对准某侧棱还是垂直于侧面）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自必修二空间几何体三视图与表面积计算基础练习题。
2. 结论推广: 若正三棱柱底面边长为 $a$，高为 $h$，当视线垂直于某侧面时正视图宽为 $a$；当视线对准某侧棱时正视图宽为 $a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$6+2\surd 3$

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积