2011-安徽卷文-08 单-三视图四棱柱表面积

本题导读

本题考查三视图还原几何体，以及直四棱柱的表面积。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()

A. $48$　　　　　B. $32+8\sqrt{17}$　　　　　C. $48+8\sqrt{17}$　　　　　D. $80$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：还原为横放的直四棱柱：底面为等腰梯形（两底 $4$、$2$
2. 步骤2：高 $4$）
3. 步骤3：柱长 $4$
4. 步骤4：分别算底面与侧面

✅【答案】

点击查看答案

C$48+8\sqrt{17}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原：几何体是横放的直四棱柱，柱长 $4$；底面为等腰梯形，两底分别为 $4$ 与 $2$，梯形的高为 $4$。

腰长：$\sqrt{4^2+{\left(\frac{4-2}{2}\right)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$，底面周长 $4+2+2\sqrt{17}=6+2\sqrt{17}$。

两个底面面积：$2\times \frac{4+2}{2}\times 4=24$。

侧面展开是长为柱长 $4$、宽为底面周长的矩形：侧面积 $=4\times (6+2\sqrt{17})=24+8\sqrt{17}$。

表面积 $=24+24+8\sqrt{17}=48+8\sqrt{17}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原组合体（正四棱柱横放）；等腰梯形的腰长；直棱柱侧面积 $=$ 底面周长 $\times$ 柱长

核心方法：先由”正视图为矩形、侧视图为梯形”断定柱轴水平，底面即梯形，再用勾股定腰长，最后分”底面 $\times 2+$ 侧面”结算

避坑指南：两个斜侧面是矩形（长 $4$、宽 $\sqrt{17}$），不是梯形——把腰 $\sqrt{17}$ 当侧面高算成梯形会出错；正视图的 $4\times 4$ 说明柱长与梯形的高都是 $4$，两个 $4$ 别混为一谈但数值恰相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图表面积题与 2011-北京卷文-05、2013-重庆卷文-08、2013-陕西卷文-12 同族。

结论推广：推广：直棱柱（不论横放竖放）表面积 $=2S_{底}+c\cdot l$（$c$ 为底面周长，$l$ 为柱长）；三视图还原时”哪个视图是矩形”指出柱轴方向，其余两个视图反映底面真实形状。

方法推广：三视图求面积：还原 $\to$ 标出每条棱长 $\to$ 分面清点（含隐蔽的背面与底面）$\to$ 求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积
• 2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2013-陕西卷文-12 填-三视图表面积