2010-辽宁卷文-16 填-三视图求最长棱

本题导读

考查三视图还原。还原为底面边长 $2$ 的正方形、高为 $2$ 的四棱锥，最长棱为 $\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 如图，网格纸的小正方形的边长是 $1$，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三视图读出：多面体是四棱锥，底面为 $2\times 2$ 的正方形，一条侧棱垂直于底面，长为 $2$。
2. 各棱长：底面 $4$ 条均为 $2$；侧棱分别为 $2$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
3. 最长棱为 $\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由网格三视图（每个小格边长为 $1$）还原： 该多面体是一个四棱锥，底面是边长为 $2$ 的正方形， 一条长为 $2$ 的侧棱垂直于底面。 设垂直底面的侧棱为 $PA$（$PA=2$），底面正方形 $ABCD$ 边长为 $2$，则 $PB=PD=\sqrt{P{A}^2+2^2}=2\sqrt{2},$ $PC=\sqrt{P{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{4+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$ 底面四条棱均为 $2$。 比较得最长的一条棱长为 $2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：网格三视图还原多面体

核心方法：按格数读出底面边长与高，还原四棱锥后逐棱计算

避坑指南：最长棱是”不在同一面内”的空间对角型棱 $PC=\sqrt{P{A}^2+A{C}^2}$，别只比较侧棱 $PB,PD$；底面正方形对角线 $AC=2\sqrt{2}$ 本身也是中间量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：网格三视图的每个小格对应长度 $1$，数格即得尺寸。

结论推广：四棱锥一条侧棱垂直底面时，各侧棱长构成勾股链。

方法推广：求空间线段长优先构造直角三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-16 填-三视图三棱锥体积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积
• 2009-山东卷文-04 单-三视图还原