2009-山东卷文-04 单-三视图还原

本题导读

考查三视图还原与体积。圆柱体积 $2\pi$；四棱锥底对角线 $2$、斜高 $2$，高 $\sqrt{3}$，体积 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(文)） 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()

A. $2\pi +2\sqrt{3}$　　　　　B. $4\pi +2\sqrt{3}$　　　　　C. $2\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　D. $4\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正视图与侧视图均为”上三角下正方形”，俯视图为圆及其内接正方形（含对角线）：几何体为下部圆柱、上部正四棱锥的组合体。
2. 圆柱：底面直径 $2$（半径 $1$），高 $2$，体积 $\pi \times 1^2\times 2=2\pi$。
3. 正四棱锥：底面正方形内接于圆，对角线 $2$，底面积 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$；正视图三角形腰（斜高方向）为 $2$，半宽 $1$，锥高 $=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，体积 $\frac{1}{3}\times 2\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由三视图知，该几何体是由下部的圆柱与上部的正四棱锥拼接而成的组合体。 下部圆柱的底面直径为 $2$，高为 $2$，其体积为 $V_1=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$。 上部正四棱锥的底面正方形内接于俯视图的圆，对角线长为 $2$，底面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$； 由正视图知侧面三角形的高（斜高）为 $2$，底面半宽为 $1$，故锥高 $h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$， 其体积为 $V_2=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times 2\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 所求体积 $V=V_1+V_2=2\pi +\frac{2\sqrt{3}}{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原与组合体体积

核心方法：正视/侧视”上三角下正方形”、俯视圆内接正方形 $\Rightarrow$ 圆柱 + 正四棱锥

避坑指南：圆柱 $V=\pi r^{2}h=2\pi$；正四棱锥底对角线 $2$、斜高 $2$，高 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，$V=\frac{1}{3}\times 2\times \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：俯视图中的圆与内接正方形（含对角线）是”圆柱托四棱锥”的标志组合。

结论推广：锥的高用正视图中的腰（斜高）与半宽的勾股关系求，不必猜。

方法推广：体积对完选项后回代：$\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1.15$，与锥底面积 $2$、高 $\sqrt{3}$ 相符。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2009-浙江卷文-12 填-三视图体积
• 2009-福建卷文-05 单-三视图俯视图