2010-辽宁卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数表示、复数除法及复数相等的概念。通过将等式变形为除法运算或乘法展开，利用实部与虚部分别相等求解参数。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理2）设 $a,b$ 为实数，若复数 $\frac{1+2\mathrm{i}}{a+b\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$，则()

A. $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　B. $a=3,b=1$

C. $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $a=1,b=3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将等式两边变形，得到 $a+b\mathrm{i}=\frac{1+2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$。
2. 分母有理化（分子分母同乘以共轭复数 $1-\mathrm{i}$），化简得出复数的标准形式，再由实部和虚部对应相等求出 $a,b$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $\frac{1+2\mathrm{i}}{a+b\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}$ 可得： $a+b\mathrm{i}=\frac{1+2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$

分子分母同乘以 $1-\mathrm{i}$ 化简： $a+b\mathrm{i}=\frac{(1+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1-\mathrm{i}+2\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{3+\mathrm{i}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

因为 $a,b$ 为实数，根据复数相等的充要条件得： $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$

故选 A>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的有理化分子分母处理、复数相等的定义。
2. 核心方法：变形为 $a+b\mathrm{i}=\frac{z_1}{z_2}$ 直接化简，或交叉相乘为 $1+2\mathrm{i}=(a+b\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$ 建立方程组。
3. 避坑指南：分子分母乘以共轭复数时注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号变换，避免计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考复数基础考查题，直接考查复数的四则运算和基本概念。
2. 结论推广：若 $\frac{z_1}{z_2}=z_3$，则 $z_2=\frac{z_1}{z_3}=\frac{z_1\overline{z_3}}{|z_3{|}^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算