2010-辽宁卷理-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本性质（下标和性质）及前 $n$ 项和计算，考查化归与代数求解能力。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理6）设 $\{a_n\}$ 是由正数组成的等比数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.已知 $a_2{a}_4=1$，$S_3=7$，则 $S_5=$()

A. $\frac{15}{2}$　　　　　　B. $\frac{31}{4}$　　　　　　C. $\frac{33}{4}$　　　　　　D. $\frac{17}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由等比数列性质 $a_2{a}_4=a_3^2=1$ 及 $a_n>0$，求得 $a_3=1$。
2. 利用 $S_3=a_1+a_2+a_3=7$ 建立关于公比 $q$ 的方程，求得 $q$ 及各项的值。
3. 计算 $S_5=S_3+a_4+a_5$ 的结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $\{a_n\}$ 是正项等比数列，由下标性质得： $a_2{a}_4=a_3^2=1⟹a_3=1$

设公比为 $q(q>0)$，则 $a_1=\frac{1}{q^2}$，$a_2=\frac{1}{q}$。 由 $S_3=7$ 得： $\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1=7⟹\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}-6=0$

解关于 $\frac{1}{q}$ 的一元二次方程得： $\left(\frac{1}{q}+3\right)\left(\frac{1}{q}-2\right)=0$

因为 $a_n>0⟹q>0$，故 $\frac{1}{q}=2⟹q=\frac{1}{2}$。

由 $a_3=1,q=\frac{1}{2}$，可求得： $a_4=a_{3}q=\frac{1}{2},a_5=a_3{q}^2=\frac{1}{4}$

故： $S_5=S_3+a_4+a_5=7+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$

故选 B>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列性质 $a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q(m+n=p+q)$ 及求和公式。
2. 核心方法：基本量法（先求 $a_3$ 和 $q$，再求其他项）。
3. 避坑指南：解方程时注意题目“由正数组成”限制，排除不合题意的负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的等比数列运算题，考查对数列基本量的计算与转化能力。
2. 结论推广：对等比数列 $\{a_n\}$，若已知 $a_k$ 与 $S_{2k-1}$，可通过一元二次方程快速求出公比 $q^k$ 的值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件