2010-重庆卷理-02 单-向量

本题导读

本题考查平面向量模长的计算，核心考查通过向量平方将其转化为数量积与已知模长的计算技巧。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0,|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$，则 $|2\vec{a}-\vec{b}|=$()

A. 0　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量的模长直接求解较难时，通常先求其平方。

2. 展开平方项，代入已知条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 以及模长，最后开方即可。

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(2\vec{a}-\vec{b}{)}^2=4|\vec{a}{|}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$， 代入已知数据 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 得： $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4\times 1^2-4\times 0+2^2=4+4=8$， 所以 $|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的平方运算 $|\vec{x}{|}^2={\vec{x}}^2$。

2. 核心方法：平方转化法。

3. 避坑指南：注意向量垂直时数量积为 0，展开时中间项 $-4\vec{a}\cdot \vec{b}$ 不要漏掉或算错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由向量加减法的几何意义与数量积运算性质改编而成的经典基础题。

2. 结论推广：若 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $|k\vec{a}+m\vec{b}|=\sqrt{k^2|\vec{a}{|}^2+m^2|\vec{b}{|}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心