2010-重庆卷理-11 填-复数

本题导读

本题考查复数代数形式的四则运算，核心在于通过分母实数化化简分式并进行复数的减法。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知复数 $z=1+\mathrm{i}$，则 $\frac{2}{z}-z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先计算 $\frac{2}{z}$，分子分母同乘以共轭复数 $\bar{z}=1-\mathrm{i}$ 进行分母实数化。

2. 将结果与 $z$ 作差，合并实部与虚部。

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$-2\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z=1+\mathrm{i}$ 得： $\frac{2}{z}=\frac{2}{1+\mathrm{i}}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{2(1-\mathrm{i})}{2}=1-\mathrm{i}$。 所以 $\frac{2}{z}-z=(1-\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})=1-\mathrm{i}-1-\mathrm{i}=-2\mathrm{i}$。 答案：$-2\mathrm{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法（分子分母共轭相乘）。

2. 核心方法：直接代数恒等变形。

3. 避坑指南：注意减法运算中的括号和负号，避免将 $(1-\mathrm{i})-(1+\mathrm{i})$ 错误算成 $0$ 或 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为复数运算的基础考查，属于每年的必考送分题。

2. 结论推广：若 $z=a+b\mathrm{i}$ 且 $a^2+b^2=2$，则 $\frac{2}{z}=a-b\mathrm{i}=\bar{z}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算