2010-陕西卷文-07 单-指数运算性质

本题导读

考查抽象函数关系识别。$f(x+y)=f(x)f(y)$ 对应指数运算 $a^{x+y}=a^x{a}^y$，只有指数函数恒满足，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 下列四类函数中，具有性质 $f(x+y)=f(x)f(y)$（对任意 $x>0$，$y>0$）的是()

A. 幂函数　　　B. 对数函数　　　C. 指数函数　　　D. 余弦函数

🔍【思路分析】

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1. 把等式与各类函数的运算性质对照：同底数幂相乘 $\to$ 指数相加。
2. 逐一检验：$(xy{)}^a\ne x^a{y}^a$；$\ln (xy)=\ln x+\ln y$ 是加法；$\cos (x+y)$ 无乘积分解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$），则对任意 $x,y>0$， $f(x+y)=a^{x+y}=a^x\cdot a^y=f(x)f(y),$ 即指数函数满足该性质. 检验其余选项：幂函数 $f(x)=x^a$，$f(x+y)=(x+y{)}^a\ne x^a{y}^a$；对数函数 $f(x)={\log }_{a}x$ 满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$，是加法而非乘法；余弦函数 $\cos (x+y)$ 不恒等于 $\cos x\cos y$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的运算性质识别

核心方法：$a^{x+y}=a^x{a}^y$ 正是 $f(x+y)=f(x)f(y)$

避坑指南：把抽象等式与”同底数幂相乘、指数相加”对应是关键；幂函数 $(x+y{)}^a\ne x^a{y}^a$、对数函数是加法 ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$，都是”形近质异”的干扰项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象函数恒等式识别是函数板块的经典题，本质是考查对各类函数运算法则的熟悉度。

结论推广：指数：$f(x+y)=f(x)f(y)$；对数：$f(xy)=f(x)+f(y)$；幂：$f(xy)=f(x)f(y)$（注意自变量是乘积）。

方法推广：给每类函数的”标志性恒等式”建档；见到 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 直接锁定指数型，再代入特殊值验证一遍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性
• 2014-陕西卷文-07 单-指数函数性质
• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2014-辽宁卷理-12 单-抽象函数与性质