2009-江苏卷-10 填-指数函数单调性

本题导读

考查指数函数。$0<a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1$，$f$ 递减，$f(m)>f(n)\Rightarrow m<n$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 已知 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，函数 $f(x)=a^x$.若实数 $m$、$n$ 满足 $f(m)>f(n)$，则 $m$、$n$ 的大小关系为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618\in (0,1)$，$f(x)=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上递减。
2. 递减函数中函数值大者自变量小：$f(m)>f(n)\Rightarrow m<n$。

✅【答案】

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$m<n$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $0<a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1$，所以 $f(x)=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。 由 $f(m)>f(n)$ 及单调递减性质，得 $m<n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数单调性

核心方法：底 $a\in (0,1)$ 时 $a^x$ 递减

避坑指南：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618<1$；递减函数”函数大 $\iff$ 自变量小”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：比较 $m$、$n$ 大小先定底数范围。

结论推广：不等号方向与单调性相反时，结论反向。

方法推广：别把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 误判成大于 $1$；先估数值再定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值
• 2012-山东卷文-15 填-指数函数最值与分类讨论