2010-陕西卷理-08 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线准线方程与圆相切的几何性质，利用圆心到切线距离等于半径列方程求解 $p$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线与圆 $x^2+y^2-6x-7=0$ 相切，则 $p$ 的值为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 求出抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 将圆配方求出圆心坐标与半径 $r$。
3. 利用相切条件：圆心到准线的距离 $d=r$ 列关于 $p$ 的方程求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求抛物线准线方程 抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线方程为： $l:x=-\frac{p}{2}⟹x+\frac{p}{2}=0$

第二步：求圆的圆心与半径 圆方程化为标准形式： $(x-3{)}^2+y^2=7+9=16$ 圆心为 $C(3,0)$，半径为 $r=\sqrt{16}=4$。

第三步：利用相切列方程 因为准线与圆相切，所以圆心 $C(3,0)$ 到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离等于半径 $r=4$： $d=\left|3-\left(-\frac{p}{2}\right)\right|=3+\frac{p}{2}$

已知 $p>0$，所以： $3+\frac{p}{2}=4⟹\frac{p}{2}=1⟹p=2$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线方程与圆相切几何性质。
2. 核心方法：圆心到直线的距离 $d=r$。
3. 避坑指南：准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$，切勿混淆为 $x=-p$ 或 $y=-\frac{p}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线与圆位置关系的经典小题。
2. 结论推广：过 $x=-\frac{p}{2}$ 与圆 $(x-a{)}^2+y^2=R^2$ 相切且 $a>-\frac{p}{2}$ 时，$p=2(R-a)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点