2010-陕西卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查空间中异面直线的垂直证明以及二面角的余弦值求解。建立空间直角坐标系，利用向量代数运算可高效解决线线垂直与二面角问题。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 17.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=90^{\circ }$，$D$ 为 $AC$ 中点，$E$ 为 $BC$ 中点，且 $PA=PB=PC=a$.

(1) 求证：$PB\perp AC$；

(2) 求二面角 $A-PE-D$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (Ⅰ) 问：由于 $\angle APB=\angle CPA=90^{\circ }$，可知 $PB\perp PA$ 且 $PB\perp PC$，从而 $PB\perp \text{平面 }PAC$。根据线面垂直性质直接推出 $PB\perp AC$（亦可用向量数量积计算）。
2. 第 (Ⅱ) 问：以 $P$ 为原点，$PA,PB,PC$ 所在的直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。写出各点及向量坐标，分别求出平面 $APE$ 与平面 $DPE$ 的法向量，利用法向量夹角余弦公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(Ⅰ) 求证：$PB\perp AC$

方法一：几何法 因为 $\angle APB=90^{\circ }$，所以 $PB\perp PA$。 因为 $\angle BPC=90^{\circ }$，所以 $PB\perp PC$。 又因为 $PA\cap PC=P$，$PA,PC\subset \text{平面 }PAC$， 所以 $PB\perp \text{平面 }PAC$。 又因为 $AC\subset \text{平面 }PAC$， 所以 $PB\perp AC$。

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(Ⅱ) 求二面角 $A-PE-D$ 的余弦值

如图，以 $P$ 为坐标原点，射线 $PA,PB,PC$ 分别为 $x,y,z$ 轴正半轴建立空间直角坐标系 $P-xyz$。

由题意可知各点坐标为： $P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)$

因为 $D$ 是 $AC$ 的中点，$E$ 是 $BC$ 的中点，由中点坐标公式可得： $D\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),E\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$

第一步：求平面 $APE$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1$ 在平面 $APE$ 中： $\overrightarrow{PA}=(a,0,0),\overrightarrow{PE}=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$

设平面 $APE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{PA}=0⟹a{x}_1=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{PE}=0⟹\frac{a}{2}{y}_1+\frac{a}{2}{z}_1=0\end{array}$

解得 $x_1=0$，$y_1=-z_1$。 取 $z_1=1$，得平面 $APE$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(0,-1,1)$

第二步：求平面 $DPE$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2$ 在平面 $DPE$ 中： $\overrightarrow{PD}=\left(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\right),\overrightarrow{PE}=\left(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$

设平面 $DPE$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{PD}=0⟹\frac{a}{2}{x}_2+\frac{a}{2}{z}_2=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{PE}=0⟹\frac{a}{2}{y}_2+\frac{a}{2}{z}_2=0\end{array}$

解得 $x_2=-z_2$，$y_2=-z_2$。 取 $z_2=-1$，得平面 $DPE$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_2=(1,1,-1)$

第三步：计算二面角余弦值 设二面角 $A-PE-D$ 的平面角为 $\theta$，由图可知该二面角为锐角： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0\times 1+(-1)\times 1+1\times (-1)|}{\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

故二面角 $A-PE-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三条两两垂直的共顶线段建系，平面法向量计算，二面角余弦值计算。
2. 核心方法：

• 证明线线垂直：先证线面垂直 $PB\perp \text{平面 }PAC$；
• 求解二面角：利用坐标法 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$。

3. 避坑指南：计算向量点积时须注意坐标符号；注意最后需根据空间几何图形确认二面角为锐角还是钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：墙角模型（三条棱两两垂直的三棱锥）在立体几何中的标准考查题。
2. 结论推广：对三条棱两两垂直的三棱锥 $P-ABC$，以 $P$ 为原点可构建直角坐标系，平面 $ABC$ 的法向量为 $\left(\frac{1}{PA},\frac{1}{PB},\frac{1}{PC}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角