2012-四川卷理-19 解-线面角与二面角

本题导读

本题考查线面角与二面角的求解，以及空间向量（坐标）法的应用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$\angle APB=90^{\circ }$，$\angle PAB=60^{\circ }$，$AB=BC=CA$，平面 $PAB\perp$ 平面 $ABC$.

(1) 求直线 $PC$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值；

(2) 求二面角 $B-AP-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系，确定各点坐标。

2. 线面角：求 $PC$ 与平面 $ABC$ 法向量夹角。

3. 二面角：求两平面法向量夹角。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$\angle APB=90^{\circ }$，$\angle PAB=60^{\circ }$，$AB=BC=CA$，设 $AB=2$。

建系（平面 $ABC$ 为 $xy$ 面），$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，由 $\angle APB=90^{\circ }$、$\angle PAB=60^{\circ }$ 得 $P$ 坐标。

(1) 平面 $ABC$ 法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{PC}$ 与 $\vec{n}$ 夹角正弦 $=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

(2) 平面 $BAP$ 与平面 $APC$ 法向量夹角余弦 $=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角的定义与求法

核心方法：二面角的求法

避坑指南：空间向量坐标法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何中的角

结论推广：可推广到一般三棱锥的线面角、二面角

方法推广：坐标法建系求法向量是通用手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理

• 2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

• 2005-全国卷II理-16 填-正三棱锥的定义与性质