2011-上海卷文-11 填-二阶行列式最值

本题导读

本题考查二阶行列式，以及分类枚举求最值。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$（$a$，$b$，$c$，$d\in \{-1,1,2\}$）所有可能的值中，最大的是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$ad-bc$ 最大等价于 $ad$ 最大且 $bc$ 最小
2. 步骤2：逐一验证可同时实现

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

行列式值 $=ad-bc$。$ad$ 在 $\{-1,1,2\}$ 中最大为 $2\times 2=4$；$bc$ 最小为 $2\times (-1)=-2$。

取 $a=2$，$d=2$，$b=2$，$c=-1$（各字母独立取值，可同时实现），得 $ad-bc=4-(-2)=6$。

故最大值为 $6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式的展开；独立取值下的最值组合

核心方法：$ad$ 与 $bc$ 相互独立，分别取最优再合并；验证字母取值不冲突

避坑指南：四字母各自独立取值，$b=2$ 与 $a=2$ 不冲突；若误以为各字母互不相同会少取到 $6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二阶行列式题与 2013-上海卷文-04、2012-上海卷文-03、2013-上海卷理-03 同族。

结论推广：推广：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$；当各元素独立取自有限集时，$ad-bc$ 的最大值 $=\max (ad)-\min (bc)$。

方法推广：有限集最值：目标可分解为独立部分时分别取极值，再核对取值可同时成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-04 填-二阶行列式
• 2012-上海卷文-03 填-二阶行列式与三角函数周期
• 2013-上海卷理-03 填-二阶行列式定义及运算