2013-上海卷理-03 填-二阶行列式定义及运算

本题导读

本题考查矩阵与行列式，以及二阶行列式的定义及运算。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 若 $\left|\begin{array}{cc}{x}^2& y^2\\ -1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x& x\\ y& -y\end{array}\right|$，则 $x+y=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开行列式：利用二阶行列式的计算法则 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$，分别展开等号两边的行列式。
2. 建立方程：将展开后的代数式相连，得到关于 $x,y$ 的二次方程。
3. 化简求解：观察方程结构，利用完全平方公式将方程变形，得出 $x+y$ 的值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开等号左边的行列式 $\left|\begin{array}{cc}{x}^2& y^2\\ -1& 1\end{array}\right|=x^2\cdot 1-y^2\cdot (-1)=x^2+y^2$

第二步：展开等号右边的行列式 $\left|\begin{array}{cc}x& x\\ y& -y\end{array}\right|=x\cdot (-y)-x\cdot y=-xy-xy=-2xy$

第三步：联立并化简方程 由题意得： $x^2+y^2=-2xy$ 移项得： $x^2+2xy+y^2=0$

第四步：利用完全平方公式 根据公式 $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$，上式可化为： $(x+y{)}^2=0$ 由此可直接得出： $x+y=0$

故填入答案为：0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式的运算法则。

核心方法：“先展开，后变形”。行列式是代数式的一种表达形式，本质仍是多项式的等量关系。

避坑指南：在计算右边行列式时，注意负号。$-xy-xy=-2xy$，容易错算成 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三阶行列式的对角线法则、矩阵的转置。

结论推广：二阶行列式常与平面向量、线性方程组及三角函数结合考察，是上海卷填空题前几道的常客。

方法推广：“先展开，后变形”。行列式是代数式的一种表达形式，本质仍是多项式的等量关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-04 填-二阶行列式
• 2015-山东卷文-14 填-新定义运算
• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算