2011-上海卷理-07 填-旋转体

本题导读

本题考查圆锥的侧面积与底面积公式，以及圆锥的高与勾股定理。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 若圆锥的侧面积为 $2\pi$，底面积为 $\pi$，则该圆锥的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由底面积 $S_{\text{底}}=\pi r^2=\pi$ 求出底面半径 $r$。
2. 由侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl=2\pi$ 求出母线长 $l$。
3. 由勾股定理求出圆锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}$。
4. 利用体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$ 计算体积。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $l$，高为 $h$。 由底面积为 $\pi$，得： $\pi r^2=\pi ⟹r=1$ 由侧面积为 $2\pi$，得： $\pi rl=2\pi ⟹\pi \times 1\times l=2\pi ⟹l=2$ 由圆锥的几何性质（高、半径、母线构成直角三角形），高为： $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 所以该圆锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$ 故答案为：$\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥的侧面积公式 $S=\pi rl$、圆锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}$、圆锥体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
• 核心方法：逆推法由面积确定基本几何量 $r,l$，再求高 $h$ 和体积 $V$。
• 避坑指南：圆锥体积公式前有系数 $\frac{1}{3}$，不可漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修二空间几何体表面积与体积经典课本题目。
• 结论推广：若圆锥侧面积为底面积的 $k$ 倍（$k>1$），则母线 $l=kr$，高 $h=\sqrt{k^2-1}r$，体积 $V=\frac{\sqrt{k^2-1}}{3}\pi r^3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-06 填-圆锥的侧面积与底面积
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理