2013-北京卷理-11 填-切割线定理

本题导读

本题考查圆，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 如图，$AB$ 为圆 $O$ 的直径，$PA$ 为圆 $O$ 的切线，$PB$ 与圆 $O$ 相交于 $D$.若 $PA=3$，$PD:DB=9:16$，则 $PD=$ $\underline{}$，$AB=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用切割线定理：由于 $PA$ 是切线，$PDB$ 是割线，根据切割线定理有 $P{A}^2=PD\cdot PB$。

2. 建立方程求解 $PD$：设 $PD=9x,DB=16x$，则 $PB=PD+DB=25x$。代入切割线定理方程求出 $x$，进而得到 $PD$ 和 $PB$ 的具体数值。

3. 利用切线性质：切线垂直于过切点的半径（或直径），即 $PA\perp AB$。

4. 求解直径 $AB$：在直角三角形 $△PAB$ 中，已知斜边 $PB$ 和一条直角边 $PA$，利用勾股定理求出 $AB$。

✅【答案】

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$\frac{9}{5}$，4

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用切割线定理求 $PD$

根据 $PD:DB=9:16$，设 $PD=9x,DB=16x$，则 $PB=PD+DB=25x$。

由切割线定理得：

$P{A}^2=PD\cdot PB$

代入已知数据：

$3^2=9x\cdot 25x$

$9=225x^2⟹x^2=\frac{1}{25}⟹x=\frac{1}{5}$

所以：

$PD=9x=\frac{9}{5}$

$PB=25x=5$

第二步：利用勾股定理求 $AB$

因为 $PA$ 是圆 $O$ 的切线，$AB$ 是直径，切点为 $A$，

所以 $AB\perp PA$，即 $△PAB$ 是直角三角形。

在 $\text{Rt}△PAB$ 中，由勾股定理得：

$A{B}^2+P{A}^2=P{B}^2$

$A{B}^2+3^2=5^2$

$A{B}^2=25-9=16⟹AB=4$

故答案分别为：$\frac{9}{5}$，4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切割线定理 $P{A}^2=PD\cdot PB$（注意右侧是整条割线的长）；切线性质 $PA\perp AB$。

核心方法：涉及比例线段时，引入参数 $x$ 构造代数方程是标准处理手段。

避坑指南：切割线定理容易错写成 $P{A}^2=PD\cdot DB$，务必牢记公式中必须包含从圆外点到圆的两个交点的全长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相交弦定理、割线定理、圆周角定理。

结论推广：若连接 $AD$，根据射影定理，在 $\text{Rt}△PAB$ 中，由于 $AB$ 是直径 $⟹\angle ADB=90^{\circ }$（直径所对圆周角），则 $AD\perp PB$，进一步验证了切割线定理与射影定理的一致性。

方法推广：涉及圆的填空题常与相似三角形、勾股定理结合考查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦