2011-北京卷理-05 单-圆与圆位置

本题导读

本题考查切线长定理，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 如图，$AD,AE,BC$ 分别与圆 $O$ 切于点 $D,E,F$，延长 $AF$ 与圆 $O$ 交于另一点 $G$.给出下列三个结论：

① $AD+AE=AB+BC+CA$； ② $AF\cdot AG=AD\cdot AE$； ③ $\Delta AFB\sim \Delta ADG$. 其中正确结论的序号是 ()

A. ①②　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ①③　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用切线长定理分析 $BD,BF,CE,CF,AD,AE$ 的关系判断 ①。
2. 利用切割线定理与切线长等量代换判断 ②。
3. 分析 $\Delta AFB$ 与 $\Delta ADG$ 的对应角关系判断 ③。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 ①： 由切线长定理可知，$AD=AE$，$BD=BF$，$CE=CF$。 则 $\Delta ABC$ 的周长为： $AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=(AB+BD)+(CA+CE)=AD+AE$ 故 ① 正确。

对于 ②： 由切割线定理可知：$AF\cdot AG=A{D}^2$。 因为 $AD=AE$，所以 $A{D}^2=AD\cdot AE$。 故 $AF\cdot AG=AD\cdot AE$，② 正确。

对于 ③： 因为 $\angle FAB$ 与 $\angle DAG$ 为同一个角，且 $B$ 点在线段 $AD$ 上，$F$ 点在割线 $AG$ 上（即 $\Delta AFB$ 的顶点 $B,F$ 均在 $\Delta ADG$ 的边上），故这两个三角形不相似。 （若 $\Delta AFB\sim \Delta ADG$，则应有 $\angle ABF=\angle ADG$，但在图形中 $\angle ABF$ 为钝角，$\angle ADG$ 为锐角，两者不相等）。 故 ③ 错误。

综上所述，正确结论的序号是 ①②。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等）与切割线定理（$AF\cdot AG=A{D}^2$）。
• 核心方法：转化代换法，利用切线长转化线段和。
• 避坑指南：判别三角形相似时需严格校验对应角，不可仅凭视觉直觉判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自选修4-1《几何证明选讲》中圆切线性质的基础定理。
• 结论推广：从圆外一点引两条切线及一条切线段，所得三角形周长恒等于两切线长之和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1978-全国卷-03
• 1979-全国卷理-08
• 2008-广东卷文-15 填-切割线定理求半径