2009-天津卷理-14 填-圆与圆的位置

本题导读

本题考查圆与圆的位置关系，通过两圆方程作差求出公共弦所在直线方程，再结合垂径定理构造直角三角形求解未知参数。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 若圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2+2ay-6=0$ ($a>0$) 的公共弦的长为 $2\sqrt{3}$, 则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将两圆的方程相减，消去二次项，得到公共弦所在的直线方程。

2. 选择结构简单的已知圆 $x^2+y^2=4$，求出圆心到公共弦直线的距离（弦心距 $d$）。

3. 利用垂径定理构成的直角三角形关系 $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2$（其中 $L$ 为公共弦长）列出关于 $a$ 的方程求解。

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1

✍【详细解析】

Abstract

设圆 $C_1:x^2+y^2=4$，其圆心为 $O(0,0)$，半径 $R=2$。 圆 $C_2:x^2+y^2+2ay-6=0$。 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程： $(x^2+y^2+2ay-6)-(x^2+y^2-4)=0⟹2ay-2=0⟹y=\frac{1}{a}$ 由于 $a>0$，圆心 $O(0,0)$ 到公共弦直线 $y=\frac{1}{a}$ 的距离（弦心距）为： $d=\frac{1}{a}$ 已知公共弦长 $L=2\sqrt{3}$，则半弦长为 $\frac{L}{2}=\sqrt{3}$。 根据垂径定理，在直角三角形中有： $R^2=d^2+{\left(\frac{L}{2}\right)}^2⟹2^2={\left(\frac{1}{a}\right)}^2+(\sqrt{3}{)}^2$ $4=\frac{1}{a^2}+3⟹\frac{1}{a^2}=1⟹a^2=1$ 又因为 $a>0$，所以 $a=1$。 答案为：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：公共弦方程的求法、圆的垂径定理几何性质。

2. 核心方法：几何法。避免直接联立方程组求交点坐标，利用圆中半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形最为简便。

3. 避坑指南：两圆方程相减时注意常数项符号的运算，防止公共弦方程写错；最后求解出 $a=\pm 1$ 后，务必结合题设条件 $a>0$ 进行舍选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是圆与圆位置关系章节中关于“两圆相交求弦长/参数值”的经典课后习题升华。

2. 结论推广: 设圆 $x^2+y^2=R^2$ 与圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 相交，其公共弦方程恒为 $Dx+Ey+F+R^2=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-05 单-圆与圆位置
• 2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系
• 2012-辽宁卷理-20 解-椭圆与圆综合