2011-北京卷理-11 填-数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{2},a_4=-4$，则公比 $q=$ $\underline{}$；$|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用 $a_4=a_1{q}^3$ 求公比 $q$。
2. 确定数列 $\{|a_n|\}$ 的首项与公比，利用等比数列前 $n$ 项和公式求解。

✅【答案】

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$-2$；$\frac{2^n-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 由等比数列通项公式 $a_4=a_1{q}^3$ 得： $-4=\frac{1}{2}{q}^3⟹q^3=-8⟹q=-2$

2. 令 $b_n=|a_n|=|a_1{q}^{n-1}|=|a_1|\cdot |q{|}^{n-1}$。 数列 $\{b_n\}$ 是以 $b_1=|a_1|=\frac{1}{2}$ 为首项，以 $|q|=|-2|=2$ 为公比的等比数列。 利用等比数列求和公式： $|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|=\frac{b_1(1-|q{|}^n)}{1-|q|}=\frac{\frac{1}{2}(1-2^n)}{1-2}=\frac{2^n-1}{2}$

答案为：$-2$；$\frac{2^n-1}{2}$（或 $2^{n-1}-\frac{1}{2}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列基本量计算与 $|a_n|$ 构成新数列的求和。
• 核心方法：基本量法（先求 $a_1,q$），转化为新公比 $|q|$ 的等比数列。
• 避坑指南：求公比 $q$ 开奇次方时保留负号；绝对值数列的公比变为 $|q|=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自等比数列通项与求和基础考查。
• 结论推广：若 $\{a_n\}$ 为公比 $q$ 的等比数列，则 $\{|a_n|\}$ 为公比 $|q|$ 的等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比