2011-四川卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查虚数单位的性质，以及复数的四则代数运算。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)）

复数 $-\text{i}+\frac{1}{\text{i}}=$ ()

A. $-2\text{i}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}\text{i}$　　　　　　C. $0$　　　　　　D. $2\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 利用 $\frac{1}{\text{i}}=\frac{-\text{i}}{-{\text{i}}^2}=-\text{i}$ 化简分式。

2. 将化简结果与原式首项 $-\text{i}$ 相加合并。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据虚数单位性质，因为 ${\text{i}}^2=-1$，

所以：

$\frac{1}{\text{i}}=\frac{\text{i}}{{\text{i}}^2}=\frac{\text{i}}{-1}=-\text{i}$

因此：

$-\text{i}+\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}+(-\text{i})=-2\text{i}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位的周期性（${\text{i}}^4=1$）与分母实数化法则。

• 核心方法：熟记 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 可以极大提高解题效率。

• 避坑指南：容易混淆 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 的正负号而误算为 $-\text{i}+\text{i}=0$（误选 C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-2复数的基本代数运算课后基础题。

• 结论推广：对任意自然数 $n$，${\text{i}}^{-n}=(-1{)}^n{\text{i}}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算

• 2005-山东卷理-01 单-复数的代数运算

• 2006-陕西卷理-02 单-复数除法与分母实数化