2011-四川卷理-17 解-二倍角公式

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与两角和差公式。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)+\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期和最小值；

(2) 已知 $\cos (\beta -\alpha )=\frac{4}{5}$，$\cos (\beta +\alpha )=-\frac{4}{5}$，$0<\alpha <\beta ⩽\frac{\pi }{2}$，求证：$[f(\beta ){]}^2-2=0$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：利用诱导公式化简 $f(x)$ 的两项：

• $\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \left(x+2\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$；
• $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \left(x-\pi +\frac{\pi }{4}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，或者转化为同角余弦形式，最终化简合并为一个正弦型函数，从而求出最小正周期与最小值。

2. 对 (2)：

• 先由 (1) 的化简结果得出 $f(\beta )$ 的解析式；
• 利用和差角余弦公式展开已知条件 $\cos (\beta -\alpha )$ 与 $\cos (\beta +\alpha )$，联立求出 $\cos \beta \cos \alpha$ 与 $\sin \beta \sin \alpha$ 的值；
• 进而推导出 $\cos \beta$ 的具体数值，代入 $f(\beta )$ 中计算并完成等式证明。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 先对函数 $f(x)$ 的每一项进行化简： $\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \left(2\pi +x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$ $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \left(x-\pi +\frac{\pi }{4}\right)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\left(\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$ 将两部分相加，得： $f(x)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)+\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x$ 利用辅助角公式化简： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 因此，函数 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$ 其最小值取到 $-2$。

(2) 由 (1) 知 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$， 所以： $f(\beta )=2\sin \left(\beta -\frac{\pi }{4}\right)=2\left(\sin \beta \cos \frac{\pi }{4}-\cos \beta \sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}(\sin \beta -\cos \beta )$ 两边平方得： $[f(\beta ){]}^2=2(\sin \beta -\cos \beta {)}^2=2({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta -2\sin \beta \cos \beta )=2(1-2\sin \beta \cos \beta )=2-4\sin \beta \cos \beta$ 接下来利用已知的和差角余弦： $\{\begin{array}{l}\cos (\beta -\alpha )=\cos \beta \cos \alpha +\sin \beta \sin \alpha =\frac{4}{5}\text{(1)}\\ \cos (\beta +\alpha )=\cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha =-\frac{4}{5}\text{(2)}\end{array}$ ① + ② 得： $2\cos \beta \cos \alpha =0⟹\cos \beta \cos \alpha =0$ 因为 $0<\alpha <\beta ⩽\frac{\pi }{2}$，所以 $\cos \alpha >0$，故必有： $\cos \beta =0$ 结合 $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，可得： $\beta =\frac{\pi }{2}$ 此时： $f(\beta )=f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \frac{\pi }{4}=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ 代入检验原式： $[f(\beta ){]}^2-2=(\sqrt{2}{)}^2-2=2-2=0$ 即 $[f(\beta ){]}^2-2=0$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：诱导公式的应用、辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$、两角和差余弦公式。
• 核心方法：
• 降幂与化简：将复杂的三角函数通过诱导公式化为标准的正弦型函数；
• 联立方程法：由和差余弦直接解出各三角函数值。
• 避坑指南：
• 展开诱导公式时注意符号（尤其是 $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$ 经过 $\pi$ 周期平移后的变号）；
• 求出 $\cos \beta \cos \alpha =0$ 时，必须结合角的取值范围说明 $\cos \alpha \ne 0$，从而准确得出 $\cos \beta =0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修四三角恒等变换章节中关于诱导公式化简与求值的高考标准题型。
• 结论推广：若 $\cos (\beta -\alpha )$ 与 $\cos (\beta +\alpha )$ 互为相反数，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 满足特定的垂直或正交相位差关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-06 填-三角函数周期性
• 2008-山东卷理-05
• 2009-天津卷理-07