本题导读
本题考查球的截面性质，以及勾股定理与空间距离。
📌【题干】
Question
（2011年大纲卷(理)）
已知平面 截一球面得圆 ，过圆心 且与 成 二面角的平面 截该球面得圆 . 若该球面的半径为 ，圆 的面积为 ，则圆 的面积为 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 从圆 的面积得出其半径 ，再利用勾股定理求出球心 到平面 的距离 。
- 球心 在 上的投影即为 ，且 。作 在 上的投影 ，。
- 利用平面 和 所成二面角为 ，结合过 点的情况（ 构成的平面垂直于交线），求出 的长。
- 再次利用球的截面性质，根据 和球半径 求出圆 的半径 的平方，从而求出圆 的面积。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
设球心为 ，半径 。
因为圆 的面积为 ，所以圆 的半径 。
球心 到平面 的距离 。
因为平面 过圆心 ，所以交线过 。
设平面 与平面 的交线为 。过 作 ，垂足为 。
作 于 。由于 ，，由三垂线定理及其逆定理易知 。
但此时已知 直接经过 ，即 在 上，因而 即为 与平面 的夹角余角，其相关的角度由二面角确定。
因为 ，所以平面 法向量为 。设平面 法向量为 。
两平面所成二面角为 ，因此 与 所成夹角为 (或 )。
在 中，（法线夹角等于平面夹角），且 。
所以 。
（说明： 在平面 内， 为球心到 的垂线， 为垂足。由于 ， 与 所成角为 ，故在 中 ，等价。）
对于截面圆 ，其半径 满足 。
因此 。
圆 的面积为 。
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：球的截面定理 、二面角与法向量夹角（或线面角）的关系。
- 核心方法：构建球心与两截面圆心的直角三角形 。
- 避坑指南：必须清楚平面所成的角 反映到三角形 中是 ，因为 和 分别是两平面的垂线。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：经典的立体几何截面与球心距关系的综合问题。
- 结论推广：若平面 与平面 成二面角 ，且平面 过平面 上的圆心 ，则两平面截得圆心距 满足 。
🔗【关联脉络】
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