2011-大纲卷理-12 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模的最值。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 设向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-\frac{1}{2}$，$⟨\mathbf{a}-\mathbf{c},\mathbf{b}-\mathbf{c}⟩=60^{\circ }$，则 $|\mathbf{c}|$ 的最大值等于 ()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立平面几何模型：设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$。由模长和数量积求得 $|AB|$ 及 $\angle AOB$。
2. 由 $\mathbf{a}-\mathbf{c}=\overrightarrow{CA}$，$\mathbf{b}-\mathbf{c}=\overrightarrow{CB}$，结合夹角 $60^{\circ }$ 确定点 $C$ 对线段 $AB$ 的张角为 $60^{\circ }$，从而确定点 $C$ 的轨迹圆。
3. 利用圆的几何性质，求原点 $O$ 到轨迹圆上动点 $C$ 距离的最大值 $|\mathbf{c}{|}_{\max }=|O{O}^{\prime }|+R$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设原点为 $O$，$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$。 因为 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-\frac{1}{2}$， 所以 $\cos \angle AOB=-\frac{1}{2}⟹\angle AOB=120^{\circ }$。 在 $△AOB$ 中，由余弦定理得： $|AB{|}^2=O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cos 120^{\circ }=1+1-2\times 1\times 1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=3$， 即 $|AB|=\sqrt{3}$。 因为 $\overrightarrow{CA}=\mathbf{a}-\mathbf{c}$，$\overrightarrow{CB}=\mathbf{b}-\mathbf{c}$，且两向量夹角为 $60^{\circ }$， 所以 $\angle ACB=60^{\circ }$。 由正弦定理，$△ABC$ 的外接圆半径 $R$ 满足： $2R=\frac{|AB|}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2⟹R=1$。 设点 $C$ 所在的外接圆圆心为 $O^{\prime }$，则 $△O^{\prime }AB$ 满足 $O^{\prime }A=O^{\prime }B=1$ 且弦长 $AB=\sqrt{3}$， 因此 $\angle A{O}^{\prime }B=120^{\circ }$。 又点 $O$ 同样满足 $OA=OB=1$ 且 $\angle AOB=120^{\circ }$， 所以 $O^{\prime }$ 可能与 $O$ 重合，或 $O^{\prime }$ 与 $O$ 分居线段 $AB$ 两侧。 为使 $|\mathbf{c}|=|OC|$ 取最大值，$O^{\prime }$ 应与 $O$ 分居线段 $AB$ 两侧， 此时四边形 $AOB{O}^{\prime }$ 为菱形，内角分别为 $120^{\circ }$ 与 $60^{\circ }$。 两对角线互相垂直平分，故： $|O{O}^{\prime }|=2\times OA\cos 60^{\circ }=2\times 1\times \frac{1}{2}=1$。 点 $C$ 在以 $O^{\prime }$ 为圆心、半径 $R=1$ 的圆上运动， 故 $|\mathbf{c}|=|OC|⩽|O{O}^{\prime }|+R=1+1=2$。 当且仅当 $O,O^{\prime },C$ 三点共线且 $O^{\prime }$ 位于 $O$ 与 $C$ 之间时取等号。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量减法的几何意义，张角恒定轨迹为阿波罗尼斯圆（或正弦定理外接圆）。
• 核心方法：数形结合，将向量模的最值转化为点到圆上各点距离的极值。
• 避坑指南：容易忽略圆心 $O^{\prime }$ 的位置对称性，若误取 $O^{\prime }=O$ 则会得出模长恒等于 1 的错误结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于解析几何中的动点张角为定角的轨迹问题。
• 结论推广：若 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=r$，夹角为 $\theta$，$⟨\mathbf{a}-\mathbf{c},\mathbf{b}-\mathbf{c}⟩=\alpha$，则 $|\mathbf{c}{|}_{\max }=r\left(\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\sin \alpha }+\frac{\sin (\alpha -\frac{\theta }{2})}{\sin \alpha }\right)$（当结构共面且外扩时）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模