2007-浙江卷理-04 单-正方形圆外接圆性质

本题导读

本题是一道注重直观想象与几何推理的实际应用数学题。核心考查如何用已知半径的圆面完全覆盖已知边长的正方形。通过网格对称划分和分析正方形顶点覆盖的极端几何边界，确定所需喷水龙头的最少个数。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 考虑正方形的四个顶点必须被不同的圆面（或共同）覆盖。先验证 1 个半径为 6 米的圆能否同时覆盖 2 个相邻的顶点；
2. 利用对称性将 $16\times 16$ 的大正方形等分为四个 $8\times 8$ 的小正方形，计算小正方形的外接圆半径；
3. 将小正方形外接圆半径与已知半径 6 米做大小比对，若小于 6 米，说明 1 个圆可完美覆盖 1 个小正方形，从而确定 4 个圆是否可行。

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所需安装这种喷水龙头的最少个数是 4 个

✍【详细解析】

Abstract

解： 已知正方形草坪的边长为 $16$ 米，每个水龙头的喷洒半径为 $R=6$ 米（直径为 $12$ 米）。

第一步：判定 3 个及以下是否可行 由于正方形有 4 个顶点，相邻两个顶点的距离为 $16$ 米。 而一个喷水圆面的最大跨度（直径）仅为 $2R=12$ 米。 因为 $12<16$，所以任何一个圆面绝不可能同时覆盖正方形的两个相邻顶点。 这意味着，正方形的 4 个顶点必须至少由 4 个不同的喷水圆面来分别负责覆盖。因此，安装龙头的个数必然 $\ge 4$，可排除 A 选项。

第二步：验证 4 个是否可行 利用对称性，将边长为 16 米的大正方形草坪平均划分为 4 个边长为 8 米的小正方形网格。 对于每一个边长为 $8$ 米的小正方形，其中心到四个顶点的距离（即其外接圆半径 $r$）为： $r=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\text{ 米}$ 因为 $\sqrt{2}\approx 1.414$，所以 $r=4\times 1.414=5.656$ 米。 显见，小正方形的外接圆半径 $r=5.656<6$ 米。 这说明，只要将一个喷洒半径为 6 米的喷水龙头安装在这边长为 8 米的小正方形的中心处，该圆面就能将这个小正方形区域（含大正方形的对应顶点和边界）全覆盖。 大正方形由 4 个这样的小正方形构成，对应在 4 个中心点各安装 1 个龙头，即可实现对整块草坪的无盲区全覆盖。 综上所述，所需安装这种喷水龙头的最少个数是 4 个。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方形的几何拆分，圆面覆盖区域的边界极端值分析。
2. 核心方法：独立顶点法与网格划分。利用“直径小于邻边则一圆无法覆两顶”的临界特征锁定下界。
3. 避坑指南：

• 易错点在于盲目利用面积进行除法计算。大正方形面积 $16\times 16=256$，一圆面积 $\pi \times 6^2\approx 113.1$。$256/113.1\approx 2.26$，部分学生会误认为 3 个圆在面积上足够就错选 A。必须注意，几何覆盖问题由于图形重叠无法做到完美无缝拼接，不能单靠面积大小做决定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于应用几何中的“圆覆盖问题”（Circle Covering Problem），是运筹学与离散几何中无线传感器网络（WSN）节点覆盖优化模型的经典初等简化原型。
2. 结论推广：用半径为 $R$ 的圆覆盖边长为 $L$ 的正方形，若 $2R<L$，则至少需要 4 个圆。当 4 个圆放置在四个象限中心时，能覆盖的最大正方形边长为 $2\sqrt{2}R$。本题中 $2\sqrt{2}\times 6=12\sqrt{2}\approx 16.97>16$，验证了 4 个圆完全可行。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-12 单-三角
• 2016-全国卷III理-16 填-直线与圆相交