2011-大纲卷理-18 解-互斥对立事件

本题导读

本题考查互斥事件与对立事件概率。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 $0.5$，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 $0.3$. 设各车主购买保险相互独立.

(1) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；

(2) $X$ 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数. 求 $X$ 的期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：设事件 $A$ 为“车主购买甲种保险”，事件 $B$ 为“车主购买乙种保险”。“至少购买一种”等价于事件 $A\cup B$。将其拆分为两个互斥事件：“购买甲种保险”与“购买乙种保险但不购买甲种保险”，直接利用互斥事件概率加法公式求解。
2. 第二问：由对立事件性质求出 1 位车主“甲、乙两种保险都不购买”的概率 $p$。因为各车主购买行为相互独立，所以 100 位车主中都不购买的人数 $X$ 服从二项分布 $X\sim B(100,p)$，代入二项分布期望公式 $E(X)=np$ 计算。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设事件 $A$ 为该地 1 位车主“购买甲种保险”，事件 $B$ 为该地 1 位车主“购买乙种保险”。 根据题意知： $P(A)=0.5$，“购买乙种保险但不购买甲种保险”的概率为 $P(\overline{A}B)=0.3$。 记事件 $C$ 为该地 1 位车主“至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”。 则事件 $C$ 可以表示为两个互斥事件的和事件： $C=A\cup (\overline{A}B)$。 由互斥事件的概率加法公式得：

$$P(C)=P(A)+P(\overline{A}B)=0.5+0.3=\mathrm{0.8.}$$

所以，该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 $0.8$。

(2) 记事件 $D$ 为 1 位车主“甲、乙两种保险都不购买”。 事件 $D$ 与事件 $C$（至少购买 1 种）互为对立事件， 所以 1 位车主两种保险都不购买的概率为：

$$p=P(D)=1-P(C)=1-0.8=\mathrm{0.2.}$$

因为各车主购买保险相互独立，100 位车主是否购买保险构成 100 次独立重复试验。 因此，$X$ 服从参数为 $n=100$，$p=0.2$ 的二项分布，即：

$$X\sim B(100,0.2).$$

根据二项分布的期望公式得：

$$E(X)=np=100\times 0.2=20.$$

所以，$X$ 的期望为 $20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：互斥事件的概率加法公式、对立事件概率性质、二项分布的数学期望 $E(X)=np$。
• 核心方法：集合/事件分解法与伯努利试验判定。
• 避坑指南：
• 题目给出的条件是“购买乙种但不购买甲种”的概率 $P(\overline{A}B)=0.3$，而非单独购买乙种保险的概率 $P(B)$，切忌盲目套用公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ 造成已知条件混淆；
• 明确 $X$ 服从二项分布的前提是“各车主购买保险相互独立”，直接利用二项分布期望公式计算最精简，无需列出 101 项的复杂分布列。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的离散型随机变量在实际生活决策（精算与统计）中的应用题，弱化了繁琐的独立事件相乘计算，突出集合包含与对立划分的逻辑本质。
• 结论推广：对任意两事件 $A,B$，全集可划分为四个两两互斥的基本事件：$AB,A\overline{B},\overline{A}B,\overline{A}\overline{B}$，恒有 $P(A\cup B)=P(A)+P(\overline{A}B)$ 与 $P(\overline{A}\overline{B})=1-P(A\cup B)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-13 填-条件概率
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率