2010-湖北卷文-13 填-条件概率

本题导读

考查独立重复试验。$4{\mathrm{C}}_4^3$ 分之：${\mathrm{C}}_4^3(0.9{)}^3(0.1)+(0.9{)}^4=0.2916+0.6561=0.9477$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 $0.9$. 则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设每人治愈概率 $p=0.9$，4 人独立。
2. “至少 3 人” = 恰 3 人 $\cup$ 恰 4 人，互斥。
3. 恰 3 人：${\mathrm{C}}_4^3(0.9{)}^3\times (0.1)=4\times 0.729\times 0.1=0.2916$。
4. 恰 4 人：$(0.9{)}^4=0.6561$。
5. 和为 $0.9477$。

✅【答案】

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$0.9477$

✍【详细解析】

Abstract

“至少 3 人被治愈”包括恰有 3 人被治愈和 4 人都被治愈两种互斥情况，所以所求概率为 ${\mathrm{C}}_4^3(0.9{)}^3(1-0.9)+(0.9{)}^4=4\times 0.9^3\times 0.1+0.9^4=0.2916+0.6561=\mathrm{0.9477.}$ 故答案为 $0.9477$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：条件概率

核心方法：用 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{PB.}$ 或缩小样本空间计算

避坑指南：在”第一次抽到次品”已发生的条件下，余下 $n-1$ 件中次品数变少，直接按缩小后的样本空间算概率得 $0.9477$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件概率的本质是”已知事件 $B$ 发生后”重新度量样本空间。

结论推广：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{PB.}$；不放回抽样中 $B$ 发生后样本空间缩小。

方法推广：分清”同时发生”与”先后发生”；不放回问题里条件概率常比直接求积更直观。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-18 解-独立重复概率
• 2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配
• 2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布
• 2013-新课标I卷理-19 解-二项分布