2011-安徽卷文-04 单-直线过圆心定参

本题导读

本题考查圆的一般方程与圆心，以及点在直线上。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 若直线 $3x+y+a=0$ 过圆 $x^2+y^2+2x-4y=0$ 的圆心，则 $a$ 的值为 ()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由一般方程读圆心 $(-1,2)$
2. 步骤2：代入直线方程解 $a$

✅【答案】

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B$a=1$

✍【详细解析】

Abstract

$x^2+y^2+2x-4y=0$ 配方：$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心 $(-1,2)$。

圆心在直线上：$3\times (-1)+2+a=0$，解得 $a=1$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程 $\to$ 配方得标准方程；圆心坐标；点在直线上的条件

核心方法：“直线过圆心”即圆心坐标满足直线方程，代入解参

避坑指南：圆心是 $x$ 的一次系数与 $y$ 的一次系数的一半的相反数：$\left(-\frac{2}{2},-\frac{-4}{2}\right)=(-1,2)$，$y$ 方向是 $+2$ 不是 $-2$——符号弄反会错选 D；本题不需要半径，但配方时顺便得到 $r^2=5$ 备查。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆位置题与 2011-四川卷文-03、2011-新课标卷文-20、2011-广东卷文-02 同族。

结论推广：推广：圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$；“过圆心/过圆上一点”的条件分别对应点代入直线或代入圆方程。

方法推广：圆的题先写圆心半径（配方或记一般式公式），再把几何条件翻译成坐标等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程
• 2011-新课标卷文-20 解-圆的方程与垂直条件
• 2011-广东卷文-02 单-集合交与圆